Was ist ein Körper?

Ein Körper ist ein Rechenbereich, in dem du die vier Grundrechenarten uneingeschränkt ausführen kannst (außer Division durch Null), um damit eine Gleichung der Form \( a \cdot x+b=c \) nach \(x \) umzustellen.

Typische Beispiele für Körper sind:

1. Die reellen Zahlen: \( (\mathbb{R},+,\cdot) \)
2. Die rationalen Zahlen: \( (\mathbb{Q},+,\cdot) \)
3. Die komplexen Zahlen: \( (\mathbb{C},+,\cdot) \)

1. Die Menge \( \mathbb{F}_2 := \{ 0,1 \} \) mit Rechenregeln für Plus und Mal wie in \( \mathbb{R} \) mit Ausnahme von \(1+1 \), was als \(0\) definiert wird.
2. Die Menge \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) := \{ a+b\cdot \sqrt{2} \vert a,b \in \mathbb{Q} \} \) mit Rechenregeln für Plus und Mal wie in \( \mathbb{R} \)

1. Die natürlichen Zahlen: \( (\mathbb{N},+,\cdot) \), weil \( (\mathbb{N},+) \) keine Gruppe ist (bspw. hat \(1\) kein additives Inverses).
2. Die ganzen Zahlen: \( (\mathbb{Z},+,\cdot) \), weil \( (\mathbb{Z}\setminus\{0\},\cdot) \) keine Gruppe ist (bspw. hat \(2\) kein multiplikatives Inverses).

1. Der Körper \( \mathbb{F}_2 := \{ 0,1 \} \) ist der kleinste Körper, da er nur die notwendigen Elemente 0 und 1 enthält.
2. Jeder Körper ist ein Ring, aber nicht jeder Ring ein Körper. Damit sind Körper spezielle Ringe bzw. Ringe eine Verallgemeinerung von Körpern.
3. In einem Körper existiert zu jedem Element (außer der Null) ein Partner, sodass deren Produkt Eins ergibt. Das unterscheidet ihn im Allgemeinen von Ringen.
4. Körper (wie alle algebraischen Strukturen) sind bezüglich ihrer Rechenoperationen abgeschlossen, das bedeutet: Wenn du zwei Elemente aus dem Körper nimmst und eine Grundrechenart darauf ausführst, dann muss das Ergebnis wieder ein Element des Körpers sein.