Mathematisch Beweisen lernen für Studenten – ein Leitfaden

Mar 22

Der einzig echte Leitfaden für mathematisches Beweisen

Eigentlich erschreckend, doch es gibt bisher tatsächlich keine wirklich gute Anleitung dafür, WIE man an einen mathematischen Beweis herangeht.

Viele Professoren unterstellen ihren Mathe-, Physik- und Informatikstudenten (und wer Beweise sonst noch benötigt) anscheinend, dass man das mit der Zeit "von ganz alleine" lernt, wenn man nur genug Beweise durchgelesen hat.

Ein großer Irrtum!

Daher habe ich hier für dich die bisher einzige Anleitung geschrieben, wie du mathematisch etwas beweist!

Wichtig ist mir vor allem, dass ich dir Einblick in die Gedanken eines Mathematikers gebe. Es geht hier also bewusst NICHT um die typischen 0815-Beweisstrategien (direkter Beweis, indirekter Beweis, Induktion), sondern es geht darum, dir eine Struktur und einen Leitfaden dafür zu geben, wie du an JEDEN Beweis herangehen kannst.

Wie du an mathematische Beweise herangehst

Am besten ist, wenn du dir zunächst folgendes Beispiel-Video (es geht stolze 30 Minuten, doch du wirst sie nicht bereuen!) anschaust, in dem ich anhand einer konkreten Aufgabe den gesamten Prozess des Beweis findens und aufschreibens vorstelle:

Lies dir danach den restlichen Artikel hier durch in dem ich das allgemeine Vorgehen beschreibe, damit du es auch auf andere Aufgaben übertragen kannst.

Der Artikel ist recht lang, da ich dabei möglichst ausführlich sein möchte. Doch wenn du Schwierigkeiten damit hast, an Übungsaufgaben strukturiert heranzugehen, dann sollte der Leitfaden hier genau das richtige für dich sein und sich die investierte Zeit somit mehr als lohnen.

Tipp: Schau dir unbedingt meinem intuitiven Videokurs Übungsblätter und Klausuren lösen an, in dem ich dir Beweisen und mathematisches Denken so beibringe, dass du SEHR VIEL mehr Punkte in der Klausur und den Übungsblättern holst!

Der Leitfaden in 4 Schritten

Als erstes gleich einmal der allgemeine (und für dich sicherlich erstmal abstrakte) Leitfaden. Beachte, dass es gut sein kann, dass die folgenden Zeilen für dich teilweise erst Sinn ergeben, wenn du die konkreten Schritte weiter unten an der Beispiel-Aufgabe siehst!

1. Die Analyse

  • Ziel: Die Aufgabenstellung nach Gegeben und Gesucht trennen.
  • Vorgehen: Wirklich jede Aufgabe lässt sich auf die Form „Wenn A gilt, dann gilt auch B“ zurückführen (symbolisch: A => B). Dabei ist die Aussage A gegeben (darf verwendet werden), während Aussage B gezeigt werden soll. Lies deine Aufgabenstellung durch und ordne jede Information darin der Gegebenen oder Gesuchten Seite zu.
  • Wichtige Fragen: Was ist gegeben? Was ist gesucht?
  • Darauf achten: Schlüsselwörter wie "Sei" (ist gegeben), "wenn" (ist gegeben) "dann" (ist gesucht)
  • Tipp: Versuch dich nur auf die "deutschen Wörter" im Text zu konzentrieren und ignoriere mathematische Fachbegriffe.

2. Die Interpretation

  • Ziel: Die Aufgabenstellung soweit möglich zerlegen und Umformulieren, sodass sie verständlicher wird und du alle Begriffe kennst und verstehst.
  • Vorgehen: Das Ziel ist ja eigentlich "nur", die Aussage B zu zeigen. Daher sollte hierauf zunächst der Fokus liegen. Dafür fragst du dich immer: "Wann bin ich fertig?". Die Antwort auf diese Frage enthält oft unklare Symbole und Begriffe, erkennbar an der Frage: "Was heißt das?". Die unklaren Begriffe und Symbole suchst du nun in deiner Vorlesung heraus (ja, auch wenn es dauert, doch da führt kein Weg dran vorbei!). Anschließend ersetzt du die Begriffe durch Ihre Definitionen. Damit hast du nun die Aussage B auf einfachere Begriffe zurückgeführt und verständlicher gemacht. Wiederhole diesen Schritt, falls notwendig.
    Danach widmest du dich der Aussage A (das Gegebene) und ersetzt auch hier unklare Dinge durch Ihre Definition solange es nötig ist.
    Am Ende solltest du eine gute Vorstellung von Aussage A und B haben.
  • Wichtige Fragen: Wann bin ich fertig? Was heißt das? Wie ist das definiert?
  • Darauf achten: Was sind die wichtigen Begriffe für die Aufgabe (tauchen z.B. einige Begriffe nur in dieser Aufgabe und sonst in wenigen Sätzen auf?) und was ist weniger wichtig (z.B. häufige Formulierungen zu Beginn vieler Sätze, die nur den "Rahmen" bilden)? Sind alle Symbole klar? Unbedingt sehr aufmerksam und genau sein beim Umformulieren der Aufgabe!
  • Tipp: Verwende hierfür wirklich viel Zeit, denn das ist die eigentliche Lernarbeit bei der Übungsaufgabe, daher lohnt es sich!

3. Die Beweis-Idee finden

Jetzt geht es endlich an den Teil, den der Professor eigentlich beim Stellen einer Aufgabe nur im Sinn hat (Professoren, Übungsleiter und viele gute Mathestudenten finden - so mein Eindruck - nämlich den ganzen Rest dieses Leitfadens als Selbstverständlichkeit bzw. als etwas, das jeder Student mit der Zeit von alleine lernt!).
  • Ziel: Das Bindeglied zwischen dem Gegebenen und Gesuchten in Form der Beweis-Idee finden.
  • Vorgehen: Schaue dir die umformulierten Aussagen A und B an und denke intensiv darüber nach, wie du von A zu B kommst und was dir dafür fehlt. Das ist nun die eigentliche Beweisfindung, bei der es wenig Anleitung gibt. Was hilft, ist das Suchen von Mustern und Ähnlichkeiten. Dieser Schritt kann durchaus sehr viel Zeit in Anspruch nehmen, denn im Allgemeinen sind Übungsblätter harte Nüsse, an denen du dir die Zähne ausbeißen sollst. Schau auch in deiner Vorlesung, ob es passende Sätze oder Aussagen für "dein fehlendes Stück" gibt.
  • Wichtige Fragen: Wie hilft mir das Gegebene für mein Ziel? Sehe ich ein Muster oder Ähnlichkeiten?
  • Darauf achten: Muster oder Ähnlichkeiten zwischen dem Gegebenen und dem Gesuchten zu erkennen ist hier Gold wert!
  • Tipp: Unbedingt möglichst einfache Beispiele für deine Aussage machen! Verwende auch dafür einige Zeit und überlege mit anderen, wie diese Beispiele aussehen können. Frage dich dann, warum der Satz beim Beispiel funktioniert und woran das liegen könnte. Was ist das zugrundeliegende Muster? Mach es dir immer einfacher, indem du dein Problem erst am konkreten Beispiel untersuchst!

4. Den Beweis aufschreiben

Was einem kaum jemand sagt: Wie man einen Beweis aufschreibt ist vom Vorgehen her oft völlig verschieden vom Finden des Beweises. Denn: Während man beim Finden der Beweis-Idee (siehe oben) erst auf das Gesuchte schaut und dieses umformt, danach auch das Gegebene und zum Schluss nach dem Bindeglied sucht, so führst du beim Aufschreiben des Beweises den Leser nun stattdessen "straight forward" vom Gegebenen (mit Hilfe deiner gefundenen Beweis-Idee) hin zum Gesuchten. Und das ganze möglichst nachvollziehbar und verständlich.
  • Ziel: Den gefundenen Beweis nun kompakt, "straight forward" und für den Leser leicht nachvollziehbar aufschreiben.
  • Vorgehen: Wie schreibst du den Beweis nun auf? Vom Gegebenen über die Beweis-Idee hin zum Gesuchten! Und wie ausführlich musst du sein? Naja, die wesentlichen Gedanken zur Beweisidee müssen natürlich vorhanden und gut nachvollziehbar sein. In der Regel brauchst du dabei aber nicht ganz so ausführlich sein, wie bei der Interpretations-Phase und alles bis aufs kleinste runterbrechen. Du darfst dem Leser insbesondere zutrauen, dass er viele Definitionen zu deinen verwendeten Begriffen kennt. Am besten ist, wenn du hierbei einen "guten Mathestudenten" mal drüberschauen lässt, ob du zu wenig begründet hast oder zuviel. Meine Erfahrung als Übungsleiter hat jedoch gezeigt, dass die Studenten meist zu wenig begründen bzw. ins Detail gehen. Und als Korrekteur liest sich das natürlich als Unsicherheit und kann Punktabzug geben. Daher im Zweifelsfall lieber ausführlicher sein.
  • Wichtige Fragen: Versteht der Leser meinen Beweis? Greift jeder Schritt exakt und schnell nachvollziehbar auf das vorhandene zurück?
  • Darauf achten: Ein Beweis muss immer 100% wasserdicht und leicht nachvollziehbar sein. Wenn du dir in Schritten unsicher bist, dann werde dort genauer und beseitige deine Unsicherheiten. Am Ende solltest du eine gut nachvollziehbare logische Kette haben.
  • Tipp: Zeig den Beweis mal einem Kommilitonen und lasse ihn laut denken. Dann siehst du schnell, ob dein Beweis ausführlich genug ist.

Die Beispiel-Aufgabe

Das oben war ja alles erstmal trockene Theorie und nicht nur ein Bild sondern auch ein Beispiel sagt ja erstmal mehr als 1000 Worte. Daher widmen wir uns nun einem ausführlichen Beispiel. Ich nehme absichtlich eine Aufgabe, die Vorwissen erfordert, das du nicht unbedingt kennst, denn so ist es ja meistens. Das hat den Vorteil, dass du dich wirklich mit dem Vorgehen beschäftigst und nicht von den Inhalten abgelenkt wirst. Und keine Angst: Alle notwendigen Inhalte erkläre ich unterwegs. Dein Fokus liegt auf dem Vorgehen, denn: Der Leitfaden oben ist universell auf jede Beweisaufgabe anwendbar! Die eigentliche Beweisidee in der Aufgabe hingegen ist sehr kurz, um das Ganze nicht unnötig in die Länge zu ziehen. Mein Ziel ist hier nicht dir zu beschreiben, wie du auf Beweisideen kommst (dazu siehe obige Tipps zur dritten Phase), sondern du sollst erst einmal den Leitfaden als "Autopilot" verwenden können, um überhaupt erstmal einen Ansatz für deine Aufgabe zu haben und dir das Leben leichter zu machen. Hier die Aufgabe:

    Aufgabe: Sei R ein kommutativer Ring mit Hauptidealen (a) und (b). Zeigen Sie: Gilt (a) = (b),  so sind a und b assoziiert.

Eine Lösung

Hier nun also in schriftlicher Form die Gedanken zur Lösung. Bitte beachte, dass dies natürlich auch nur EIN Beweis ist und nicht DER Beweis. Das gilt vor allem für das fertig aufgeschriebene Ergebnis. Auch die verwendeten Definitionen unten können in deiner Vorlesung minimal anders lauten, da hier jeder Mathe-Professor etwas Spielraum hat.

1. Schritt: Analysieren

  • Aufgabenstellung aufteilen in "gegeben" und "gesucht": Ich lese mir die Aufgabenstellung durch und versuche darin die Form "Wenn A gilt, dann gilt auch B" (alternativ: "Aus A folgt B") zu erkennen. Ich frage mich also, was angenommen wird (gegeben) und was dann daraus folgen soll (gesucht).
  • Auf Schlüsselwörter achten: Konkret schaue ich mir dazu zunächst den 1. Satz der Aufgabe an ("Sei ..."). Das unscheinbare Wörtchen "sei" sagt mir sofort, dass jetzt eine bestimmte (gegebene) Situation beschrieben wird. Ich brauche also den restlichen Satz gar nicht lesen - das ist alles "gegeben", egal was da folgt. Folglich gehört der erste Satz zur Aussage A. Nun zum 2. Satz: Dieser enthält zunächst die Bedingung "[wenn] gilt (a) = (b)", welche eine Voraussetzung darstellt - erkennbar am "wenn" -  und damit auch zu Aussage A gehört. Außerdem enthält der zweite Satz schließlich auch die zu zeigende Aussage B "dann sind a und b assoziiert", welche ich an dem "dann" identifiziere. Fazit:
    Gegeben: R ist ein Ring, (a) und (b) sind Hauptideale darin, (a) = (b).
    Gesucht (also zu zeigen): a ist assoziiert zu b

2. Schritt: Interpretieren

  • Die wichtigsten zwei Fragen für deinen Kopf: Die erste wichtigste Frage für die nächste Phase ist nun: Wann bin ich fertig?
  • Angewandt auf unsere Aufgabe ist die Antwort darauf erstmal: Wenn das Gesuchte gezeigt ist, d.h. "Wenn a assoziiert zu b ist" - Was auch immer das heißt ... Inhalte sind derzeit nämlich noch vollkommen egal!
  • Das führt direkt zur zweiten wichtigen Frage: Nämlich: Was heißt das?
  • In unserer Aufgabe ist dies die Aufforderung, nun in der Vorlesung nach der Definition von "assoziiert" zu schauen. In unserem Fall soll in der Vorlesung stehen: "Zwei Ringelemente a und b heißen assoziiert, wenn a ein Teiler von b (symbolisch a|b) sowie b ein Teiler von a ist". Also ersetze ich den Begriff assoziiert innerhalb meiner Aussage B durch die Definition des Begriffs:
  • Die beiden Fragen wiederhole ich nun so oft wie notwendig: Ich frage also wieder: "Wann bin ich fertig?" Antwort nun: Wenn ich gezeigt habe, dass a | b und b | a ist.
  • Zwischenfazit: Du hast also mit diesem Schritt den Begriff "assoziiert" vollkommen eliminiert, weil du ihn durch seine Definition ersetzt (bzw. "zerlegt") hast. Und dadurch sind ggf. andere Symbole (z.B. das Teiler Symbol) und Begriffe aufgetaucht, für die du das (wenn notwendig) wiederholen kannst! Dadurch zerlegst du komplizierte Definitionen und mathematisch Symbole Stück für Stück in immer leichter zu verstehende Bausteine.
  • Jetzt auch für die "gegeben"-Seite: Da mir der "Grad der Zerlegung" auf der "gesucht"-Seite für den Moment ausreicht (ich könnte ja auch später noch weiter zerlegen, falls notwendig), verfahre ich nun genauso mit der "gegeben"-Seite:
  • Ich frage also wieder: "Was heißt das?" Das ist die Frage danach, was ein kommutativer Ring ist, was ein Hauptideal ist und was das Symbol (a) bzw. (b) bedeutet.
  • Die Frage nach dem kommutativen Ring R kürze ich hier etwas ab: Nach einiger Recherche in der Vorlesung würde ich feststellen: Ein solcher ist laut Definition eine Menge von "Zahlen" mit gewissen Eigenschaften ("Rechenregeln"). Dieser Ring R dient mir hier nur als Rahmen für die Elemente der Aufgabenstellung und ist daher nicht mein zentraler Fokus. Wichtiger ist der Begriff Hauptideal. Die Vorlesung verrät mir dazu zunächst: "Ein Hauptideal ist ein Ideal, welches von genau einem Element erzeugt" wird.
  • Also haben wir den Begriff "Hauptideal" ersetzt durch zwei andere Begriffe: "Ideal" und "erzeugt von einem Element".
  • Nächste Frage wieder: Was heißt das? Ich recherchiere weiter: Ein Ideal ist eine Teilmenge meines Ringes (demnach also auch eine Menge von "Zahlen") mit gewissen Eigenschaften. Die Formulierung "erzeugt von einem Element" bedeutet laut Vorlesung, dass jedes Element des Ideals, ein Vielfaches des sog. "Erzeugers" ist. Nach weiterer Recherche (Erzeuger etc.) fasse ich alles nun kurz zusammen:
  • Ich weiß nun, dass a und b Ringelemente sind und dass die Symbole (a) und (b) zwei Mengen von "Zahlen" beschreiben (Teilmengen von R um genau zu sein), wobei alle Elemente in (a) einfach "Vielfache von a" sind (analog bei b). Hinweis: Dazu ein Beispiel: (2) als Teilmenge des Ringes der ganzen Zahlen Z wäre einfach die Menge aller Vielfachen von 2, also die Menge aller geraden Zahlen. Wichtig dabei: dies beinhaltet auch die Null und negative gerade Zahlen. Die Menge (a) ist also per Definition nichts anderes als "Alle Elemente der Form a*r wobei r alle Elemente aus dem Ring R durchläuft". Analog bei b natürlich.
  • Ich fasse noch einmal zusammen, was gegeben und was zu zeigen ist: Gegeben: Die Gleichheit (a) = (b) ist gegeben und bedeutet: Die Vielfachen von a und die Vielfachen von b sind als Menge gesehen gleich! Zu zeigen: a | b und b | a (d.h. a und b sind jeweils Teiler voneinander).


Puh, ganz schön viel Recherche! Doch das Gute ist: Alles lief bisher im "Autopilot" mit Hilfe des Leitfadens. Weiter geht's, denn nun kommen wir zum "kreativen" Knobelteil:

3. Schritt: Beweis-Idee finden

  • Ich frage mich nun: Sehe ich eine Verbindung vom Gegebenen zum Gesuchten? Dazu suche ich nach Ähnlichkeiten der beiden Seiten: Und in der Tat sieht man direkt, dass die beiden Seiten wesentlich "näher" beieinander sind als zu Beginn der Aufgabe (als alle Begriffe noch unklar waren). Langsam erkennt man eine Verbindung! Was noch fehlt, ist die Beweisidee, auf die man nach einiger Grübelei kommen sollte. Für genau diesen wichtigsten Teil der Beweisfindung schau auch mal hier bei einem Artikel von einem meiner Professoren. Hier nun das Ergebnis davon bei der Beispielaufgabe:
  • Die Idee umfasst folgende Gedanken: Ein Ring enthält per Definition insbesondere die Zahlen 0 und 1. Demnach enthält die Menge (a) auch das Element a selbst (denn a = a*1 und dies erfüllt die Darstellung a*r für ein Ringelement r. Anders gesagt: a ist auch ein "Vielfaches von sich selbst", da der Faktor 1 auch ein Element in R ist). Analog ist b ein Element der Menge (b). Aufgrund der Gleichheit (a) = (b) kann ich daraus nun folgern, dass die Menge (a) auch das Element b, sowie die Menge (b) das Element a enthält. Das bedeutet nichts anderes als: Ich habe gegeben, dass "a ein Vielfaches von b" und "b ist ein Vielfaches von a" ist. Oder in Symbolen: b | a und a | b. Und das war genau das, was ich gesucht habe, hergeleitet aus dem Gegebenen.

4. Schritt: Beweis aufschreiben

Jetzt brauchen wir das Ganze nur noch schön kurz und straight forward aufschreiben. Insbesondere starten wir den aufgeschriebenen Beweis nun nicht mit dem zu Zeigenden, sondern mit dem Gegebenen:

Beweis: Sei (a) = (b). Da 1 ein Element von R ist, ist a Element (a) und b Element von (b). Wegen (a) = (b) ist also auch b ein Element von (a) sowie a Element von (b). Per Definition des Hauptideals ist also b ein Vielfaches von a und a ein Vielfaches von b. Also ist a | b und b | a, d.h. a und b sind assoziiert.

Ganz schön kurz für so viel Recherche- und Denkarbeit oder? Das ist auch genau der Grund, wieso ich die meisten vorgestellten Musterlösungen in den Übungen nicht gut fand. Denn wenn nur der Beweis in seiner Endform angeschrieben wird, geht daraus nur noch sehr schwer hervor, wie man selbst dahin gekommen wäre.

Schau dir unbedingt meinem intuitiven Videokurs Übungsblätter und Klausuren lösen an, in dem ich dir Beweisen und mathematisches Denken so beibringe, dass du SEHR VIEL mehr Punkte in der Klausur und den Übungsblättern holst!

Fazit Ich habe mich auf das Ziel (Aussage B) konzentriert und mich immer konsequent damit auseinandergesetzt, was unklare Symbole und Begriffe bedeuten. Am Ende waren die Seiten A und B soweit "zerlegt", dass ich langsam Ähnlichkeiten erkennen konnte. Dann muss ich nur noch das Bindeglied suchen. Am Ende schreibe ich alles kompakt und "linear" ausgehend von Aussage A hin zu Aussage B auf.

Zugegeben: Es ist anfangs bestimmt schwer, oder zumindest ungewohnt, diese Schritte eins zu eins für dich zu übernehmen und auf Aufgaben anzuwenden. Doch lass mich trotzdem wissen, ob und wie dir diese Strategie hilft, da ich sie gern noch weiter verfeinern möchte, damit sie noch mehr Studenten eine Hilfe ist.

Mehr Punkte in der Klausur und auf dem Übungsblatt ...

... haben über 5.000 MINT-Studenten durch meine exklusiven Tipps per E-Mail geholt. Sei dabei!
Thank you!