Was ist ein Vektorraum?

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Idee und Motivation

Ein Vektorraum ist eine Menge, deren Elemente (genannt Vektoren), aus den Elementen eines Rechenbereichs (Körper) zusammengesetzt wurden, zusammen mit einer Vektoraddition und Skalarmultiplikation.

Vorwissen

Menge
Kartesisches Produkt
Abbildung
Verknüpfung
Gruppe
Ring
Körper

Video


Definition

Sei ein Körper. Eine Menge  zusammen mit zwei Verknüpfungen (Vektoraddition) und (Skalarmultiplikation) heißt Vektorraum über K oder kurz K-Vektorraum, wenn gilt:

  1. ist eine kommutative Gruppe.
  2. Für alle Elemente und gilt: („Assoziativgesetz“).
  3. Für alle Elemente und gilt: und
    .
  4. Für alle gilt: ,
    wobei das Eins-Element des Körpers K ist.

Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren.
Elemente des zum Vektorraum gehörenden Körper nennt man Skalare.
Das neutrale Element der Gruppe heißt Nullvektor.

Notationen

  • Wichtig: Fast immer schreibt man per Konvention einfach auch + anstelle von und anstelle von . Das liegt daran, weil man an den Objekten links und rechts des Verknüpfungssymbols immer erkennt, ob Vektoren aus V oder Skalare aus K addiert werden sollen bzw. ob zwei Skalare multipliziert oder ein Vektor mit einem Skalar multipliziert werden soll.
  • Nullvektor: oder oder einfach nur .
  • Analog zu Ringen und Körpern schreibt man bei einer „Subtraktion“ anstelle von einfach wie aus der Schule gewohnt .





Beispiele

  1. Eines der bekanntesten Beispiele: mit den „naheliegenden“ komponentenweisen Verknüpfungen gegeben durch und
    gegeben durch .
  2. Analog auch und allgemeiner jeder für .
  3. Analog auch: und .
  4. Der einfachste Vektorraum besitzt nur den laut Definition notwendigen Nullvektor: , der sogenannte Nullvektorraum.
  5. Etwas fortgeschrittener: Auch der Körper selbst kann als Vektorraum über sich selbst als Körper aufgefasst werden. Die Skalarmultiplikation ist dann wieder identisch mit der Körpermultiplikation, ebenso ist die Vektoraddition dann einfach die Körperaddition. In der Notation würde man dann anstelle von „Vektoren“ mit einem Eintrag auch einfach die Vektor-Klammern weglassen, so wie im Körper  gewohnt.

Eigenschaften und Besonderheiten von Ringen

  • Der Körper liefert die Menge, aus der die Einträge von V stammen (Koordinaten).
  • Ähnlich wie bei Körpern und Ringen, gilt analog in einem Vektorraum immer Null mal irgendein Vektor ist Nullvektor, denn:
    . Ziehe nun auf beiden Seiten ab und du erhälst . Hierbei wurden verwendet: Eigenschaft der Null (kein Effekt bei Addition), Distributivgesetz und eine elementare Gleichungsumformung (wenn Vektor 1 = Vektor 2 ist, dann ist auch Vektor 1 – w gleich Vektor 2 – w).

Wofür braucht man einen Vektorraum?

  • Vektorräume sind eines der Hauptobjekte, die in der linearen Algebra untersucht werden.
  • Diese werden beispielsweise intensiv genutzt, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.
  • Auch lassen sich mit Vektorräumen sehr gut Dinge aus der Realität modellieren, beispielsweise kann ich im R3 die 3 Einträge eines Vektors als Höhe, Breite und Tiefe interpretieren und damit Gebäude, Gegenstände und weiteres modellieren.