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Was ist eine Menge?

Menge

Idee und Motivation

  • Mengen bilden das absolute Fundament der Mathematik, auf dem alles aufbaut. Sie sind die “Atome der Mathematik”.

  • Mit ihnen definiert man die Objekte, die man überhaupt erst einmal untersuchen möchte.

  • Bei einer Menge kann man immer prüfen, ob ein Objekt (=Symbol) darin enthalten ist oder nicht. Es gibt immer nur diese zwei Möglichkeiten.

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Beispiele

Definitionen

Leicht schwammige, aber doch häufig gebrauchte Definition:
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von gewissen unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen.
Objekte innerhalb einer Menge nennt man Elemente.
Die (eindeutige) Menge ohne Elemente nennt man die leere Menge.
Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie die identischen Elemente enthalten.





Notationen

  • Formale Schreibweise:

  • Alternativ:

    bzw.

  • Ist x Element von M, dann schreibt man

    , ansonsten

  • Symbol der leeren Menge:

    oder

Eigenschaften, Sätze und Besonderheiten

  • Reihenfolge der Elemente ist egal

  • Dopplungen von Elementen sind egal

  • Mengen können beliebig verschachtelt werden, d.h. Mengen können auch wieder Mengen enthalten.

Wofür braucht man eine Menge?

Mengen stecken überall in Mathe! Wirklich überall! Am Anfang besteht die Kunst darin, das erst einmal zu erkennen. Denn egal, ob Körper, Vektorraum, Matrix, Gruppe, topologischer Raum, Funktion, Zahl oder Nullstelle: Überall finden wir Mengen, die die Objeke beschreiben, die wir untersuchen und verstehen wollen.
Egal ob Analysis, Algebra oder Stochastik: Überall solltest du dich also bei jedem Begriff immer zuerst fragen, was die zugrunde liegende Menge ist. Denn in Mathe gibt es immer zwei Dinge:

  • die Objekte: also Mengen und ihre Elemente
  • die Eigenschaften, die diese Objekte haben und die man untersucht

Um Mathe also richtig zu verstehen, frage dich immer, was deine Objekte und was die zugehörigen Eigenschaften sind. Das ist der Grundstein des mathematischen Denkens.