Implizite Ableitung

Die Idee – auf den Punkt gebracht

Für eine implizit gegebene Funktion y(x) (siehe Beispiel unten) möchte man auch eine implizite Ableitung anstelle einer „expliziten Ableitung“ y'(x) berechnen.

Die Erklärung – mit intuitivem Video (16:14 min)

Das Beispiel – so sieht das aus

Anstelle von y(x)= \dots (explizite Funktion) ist y(x) implizit gegeben durch die Gleichung x^2 + y^2 = 1.

In diesem Fall ist es nicht möglich eine EINDEUTIGE explizite Darstellung y(x) = \dots durch Umstellen zu erhalten. Möchte man für y(x) die Ableitung y'(x) berechnen, dann kann man also nicht die bisher bekannten Methoden nutzen (nämlich die explizite Darstellung y(x) einfach ableiten), da es keine explizite Darstellung von y(x) gibt. Stattdessen nutzt man hier den Algorithmus unten, um eine implizite Ableitung zu berechnen.

Die Notation – so schreibst du es

Nichts Neues für dich ;)

Der Algorithmus – so gehst du vor

Gegeben: F(x,y) = 0, wobei y=y(x) abhängig von x ist (implizit gegebene Funktion y(x)). Gesucht: y'(x)

  1. Bestimme die partiellen Ableitung von F nach x und nach y (ich nenne diese gleich F_x und F_y)
  2. Die implizite Ableitung ist dann gegeben durch den Ausdruck - \frac{F_x}{F_y}

Die Übungsaufgaben – so lernst du es

Aufgabe 1

Diese Aufgabe ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1 zu „Extrema unter Nebenbedingungen“.

Bestimmen Sie \frac{\partial x_2}{\partial x_1} mit Hilfe der impliziten Ableitung und bestimmen Sie die Steigung der Indifferenzkurve im Optimalpunkt.

Hinweis: Die Steigung der Indifferenzkurve ist genau der Wert der impliziten Ableitung.

Videolösung (12:08 min) Schriftliche Lösung

Aufgabe 2

Diese Aufgabe ist eine Fortsetzung der Aufgabe 2 zu „Extrema unter Nebenbedingungen“.

Bestimmen Sie \frac{\partial x_2}{\partial x_1} mit Hilfe der impliziten Ableitung und bestimmen Sie die Steigung der Indifferenzkurve im Optimalpunkt.

Hinweis: Die Steigung der Indifferenzkurve ist genau der Wert der impliziten Ableitung.

Videolösung (5:49 min) Schriftliche Lösung

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