Partielle Ableitung

Die Idee – auf den Punkt gebracht

Analog der „normalen“ Ableitung, nur jetzt für Funktionen mit mehr als einer Variable. Man möchte die Steigung der Funktion in verschiedene „Richtungen“ (z.B. x-Achse, y-Achse) berechnen.

Die Erklärung – mit intuitiven Videos

In den folgenden zwei Videos (Playlist!) erkläre ich dir …

  1. … wie du die partielle Ableitung berechnest (12:46 min)
  2. … wie du dir die partielle Ableitung vorstellen kannst (11:44 min)


Die Beispiele – so sieht das aus

f(x,y) = x+2y hat zwei partielle Ableitungen: \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 1 und \frac{\partial f}{\partial y} (x,y)= 2.

f(x,y) = 2x^2y^3 hat die zwei partiellen Ableitungen \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 4xy^3 und \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=6x^2y^2

Die Notation – so schreibst du es

Partielle Ableitung (erster Ordnung) von f(x,y) nach x:   \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)

Partielle Ableitung (erster Ordnung) von f(x,y) nach y:   \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)

Zwei mal nach x partiell abgeleitet (partielle Ableitung zweiter Ordnung):   \frac{\partial ^2 f}{\partial ^2 x}(x,y) oder alternativ \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial x}(x,y)

Zwei mal nach y partiell abgeleitet (partielle Ableitung zweiter Ordnung):   \frac{\partial ^2 f}{\partial ^2 y}(x,y) oder alternativ \frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial y}(x,y)

Erst nach x und danach nach y partiell abgeleitet (partielle Ableitung zweiter Ordnung): \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}(x,y)

Der Algorithmus – so gehst du vor

Beispielsweise für Funktion eine Funktion f(x,y), die von zwei Variablen abhängig ist:

  1. Starte mit der Berechnung von \frac{\partial f}{\partial x}(x,y):
  2. Konzentriere dich auf die Variable x. Nach dieser willst du „wie gewohnt“ ableiten.
  3. Stelle dir dafür vor, dass die restlichen Variablen (in unserem Beispiel also nur y) Konstanten wären (z.B. 5).
  4. Dadurch erhälst du (in deinem Kopf) eine abgewandelte Funktion, die nur noch von einer Variable abhängig ist.
  5. Für diese abgewandelte Funktion verwendet du das gewohnte Wissen darüber, wie du eine solche Funktion ableitest.
  6. Berechne auf dieselbe Weise nun \frac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Die Übungsaufgaben – so lernst du es

Aufgabe 1

Bestimme die partiellen Ableitungen erster Ordnung folgender Funktionen:

a) f(x,y)=2xy+x\ln (3y+1) - \frac{1}{5}y

b) f(x,y)= \frac{\sqrt x}{\ln (y)}

Videolösung (15:34 min) Schriftliche Lösung

Aufgabe 2

Bestimme die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von:

f(x,y)=\ln (\frac{\sqrt{y^3}}{e^{-2x}})+ \frac{1}{2}xy

 
Videolösung (8:59 min) Schriftliche Lösung

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht.

 

Du schaust dir gerade eine Vorschaulektion des Kurses Mathe für Wirtschaftswissenschaftler an. Um voll durchzustarten, hole dir den gesamten Kurs.
×