Aufgabe 5.2

Aufgabe

Sei V:= mathbb{R}^3 und U := left{ begin{pmatrix} x \ y \ z end{pmatrix} in mathbb{R}^3 mid x+z = 0 right}.

Bestimme ein Erzeugendensystem von U.

Bevor du loslegst

  1. Lerne die Intuition und Definition des Erzeugnis

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    .

  2. Beantworte nun schriftlich:
    1. Was ist ein Erzeugnis von Vektoren (Idee + Definition)?
    2. Was sind Erzeuger (Idee)?
    3. Was ist ein Erzeugendensystem (Idee + Definition)?

Genug geknobelt? Hier die Lösung

Lösungsweg (Video)
Ergebnis

Zuerst sollten wir uns kurz fragen, wieviele Vektoren wir eigentlich für unser Erzeugendensystem suchen:

  • Etwas versteckt in der Aufgabenstellung ist enthalten, dass U ein Vektorraum ist, denn ansonsten könnte ich keine Erzeuger davon bestimmen (denn jedes Erzeugnis von Vektoren bildet einen Vektorraum; also am Ende auch U). Also ist U anschaulich entweder der Nullpunkt, oder eine Gerade / eine Ebene / ein n-dimensionaler Raum mit Nullpunkt.
  • Der mathbb{R}^3 hat 3 Dimensionen „Platz“, daher kann auch U maximal 3 Dimensionen haben, d.h. wir können maximal 3 linear unabhängige Erzeuger angeben.
  • Man sieht schnell, dass U nicht leer ist, z.B. ist begin{pmatrix}1 \ 0 \ -1 end{pmatrix} darin enthalten. Damit hat U also schon mal mindestens einen Erzeuger, und wie eben gesehen also maximal 3. U ist also nicht nur der Nullpunkt, sondern mindestens eine Gerade.
  • Kann U 3-dimensional sein? Nein, denn dann wäre U identisch mit dem mathbb{R}^3, aber z.B. begin{pmatrix}1 \ 1 \ 1 end{pmatrix} liegt nicht in U.
  • Demnach hat U entweder einen oder zwei Erzeuger in einem (minimalen, also linear unabhängigen, d.h. ohne überflüssige Vektoren) Erzeugendensystem.
  • Da ich einen Vektor in U schon gefunden habe, brauche ich nun also nur noch untersuchen, ob ich noch einen zweiten – dazu linear unabhängigen – Vektor in U finden kann. Und siehe da: z.B. der Vektor begin{pmatrix}1 \ 1 \ -1 end{pmatrix} liegt auch in U und ist linear unabhängig zum ersten Vektor begin{pmatrix}1 \ 0 \ -1 end{pmatrix}.
  • Damit habe ich zwei Vektoren gefunden, die U erzeugen.
  • Alternativer Lösungsweg:
  • Stelle die Gleichung, die in U gilt, nach einer Variable um und setze diese in den Vektor ein: U := left{ begin{pmatrix} x \ y \ -x end{pmatrix} mid x,y in mathbb{R}^3 right}
  • Trenne nun im Vektor begin{pmatrix} x \ y \ -x end{pmatrix} zuerst nach den Variablen x und y, d.h. schreibe den Vektor als Summe von zwei Vektoren. Anschließend klammere jeweils x und y aus:
  • U := left{ x cdot begin{pmatrix}1 \0 \ -1 end{pmatrix} +y cdot begin{pmatrix}0 \1 \ 0 end{pmatrix} mid x,y in mathbb{R}^3 right}
  • Damit kannst du nun zwei Erzeuger von U ablesen, denn diese sind linear unabhängig.

 

 

 

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