Aufgabe 4.1

Aufgabe

Sei V:= mathbb{R}^3. Prüfe, ob die folgenden Vektoren linear unabhängig sind:

a) begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 end{pmatrix}

b) begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 end{pmatrix} und begin{pmatrix} 0 \ 2 \ 0 end{pmatrix}

c) begin{pmatrix} 4 \ 0 \ -2 end{pmatrix} und begin{pmatrix} frac{1}{2} \ 0 \ frac{1}{4} end{pmatrix}

d) begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix} und begin{pmatrix} 2 \ 4 \ 7 end{pmatrix}

e) begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 end{pmatrix}, begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 end{pmatrix} und begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 end{pmatrix}

f) begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 end{pmatrix}, begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 1 end{pmatrix} und begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 end{pmatrix}

g) begin{pmatrix} 1 \ 4 \ 7 end{pmatrix}, begin{pmatrix} 2 \ 5 \ 8 end{pmatrix} und begin{pmatrix} 3 \ 6 \ 9 end{pmatrix}

Bevor du loslegst

  1. Lerne die Intuition und Definition von linear unabhängig

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    Loading video…

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    .

  2. Beantworte nun schriftlich:
    1. Wann ist ein Vektor linear unabhängig?
    2. Und wann zwei Vektoren?
    3. Und wann drei Vektoren?
  3. Woran erkennst du visuell lineare Unabhängigkeit von Vektoren?

Genug geknobelt? Hier die Lösung

Lösungsweg (Video)
Ergebnis

a) Der Nullvektor ist als einziger Vektor per Definition zu sich selbst linear abhängig. Jeder andere Einzel-Vektor ist automatisch linear unabhängig.

b) Linear unabhängig (die Vektoren liegen auf unterschiedlichen Koordinatenachsen).

c) Sieht im ersten Moment linear abhängig aus, aber wegen dem Minus in einem Eintrag sind die Vektoren doch linear unabhängig.

d) Ähnlich wie c): Linear unabhängig, auch wenn der eine Vektor „fast“ das Doppelte des anderen ist.

e) Die Einheitsvektoren des V:= mathbb{R}^3 sind natürlich ein Parade-Beispiel für linear unabhängige Vektoren.

f) Sind auch linear unabhängig, ist allerdings nicht so offensichtlich wie in e), sondern erst mit Gauß-Algorithmus aus der Schule klar (erkläre ich später auch noch mal im Detail).

g) Viel Rechenarbeit, doch am Ende sieht man: Linear abhängig! Auch wieder mit Gauß.

 

 

 

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