Aufgabe 3.2

Aufgabe

Sei V:= mathbb{R}^3 und v:= begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 end{pmatrix} . Bestimme für die folgenden Vektoren jeweils die Menge aller möglichen Linearkombinationen und prüfe, ob v darin enthalten ist:

a) begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 end{pmatrix}

b) begin{pmatrix} frac{1}{2} \ 0 \ 0 end{pmatrix}

c) begin{pmatrix} 5 \ 0 \ 0 end{pmatrix}

d) begin{pmatrix} 2 \ 0 \ 0 end{pmatrix} und begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 end{pmatrix}

e) begin{pmatrix} 0 \ 2 \ 0 end{pmatrix} und begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 end{pmatrix}

f) begin{pmatrix} 2 \ 2 \ 0 end{pmatrix} und begin{pmatrix} 0 \ 3 \ 3 end{pmatrix}

g) begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 end{pmatrix}, begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 1 end{pmatrix} und begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 end{pmatrix}

Hinweis: Schaue dir die Vektoren vorher genau an! Kannst du schon visuell erkennen, wie die möglichen Linearkombinationen aussehen und ob sich v als Linearkombination darstellen lässt? Übe dein Sehen, nicht nur das Rechnen!

Bevor du loslegst

  1. Schaue dir das Video zur Linearkombination

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    Loading video…

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    }
    });
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    an.

  2. Beantworte nun schriftlich:
    1. Wann lässt sich ein Vektor durch zwei andere Vektoren als Linearkombination darstellen?
    2. Was bedeutet das geometrisch?
    3. Mit welchem Vorgehen ermittelst du die Koeffizienten einer solchen Darstellung als Linearkombination?

Genug geknobelt? Hier die Lösung

Lösungsweg (Video)
Ergebnis

Alle möglichen Linearkombinationen als Menge siehe Video-Mitschrift.

Und ob sich v als Linearkombination darstellen lässt:

a) Nein

b) Ja

c) Ja

d) Ja

e) Nein

f) Nein

g) Ja

 

 

 

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