Aufgabe 10.2

Aufgabe

Sei varphi colon V to W ein Vektorraum-Homomorphismus.

a) Zeige, dass gilt: varphi ist surjektiv Leftrightarrow Bild varphi = W

b) Zeige, dass gilt: varphi ist injektiv Leftrightarrow Kern varphi = { 0 }

Hinweis: Aussage a) scheint intuitiv trivial zu sein, doch kannst du es formal beweisen? Aussage b) hingegen ist schon anspruchsvoller.

Exkurs zur Logik von Beweisen:

Eine Äquivalenz Leftrightarrow von Aussagen zeigst du immer, indem du dir nacheinander die einzelnen Richtungen Leftarrow und Rightarrow vornimmst.

Die entstandenen Teilaufgabe der Form A Rightarrow B zeigst du danach jeweils, indem du die Aussage A als gegeben voraussetzt und durch Umformungen und Folgerungen so auf die andere Seite B schließen kannst.

Nice to know:

Die Aussage b) ist ein hübsches Kriterium, um injektiv auch auf andere Art und Weise zu zeigen, als nur die Definition nachzurechnen. Je nach Aufgabe spart das viel Zeit, also merken!

Bevor du loslegst

  1. Frische Aufgabe 9.1 auf.
  2. Wie zeigst du formal, dass eine Abbildung injektiv bzw. surjektiv ist?
  3. Achte auf die Objekttypen und was für diese zu zeigen ist: Eine Gleichheit von zwei Mengen zeigst du beispielsweise, indem du zeigst, dass jeweils die eine Menge teil der anderen Menge ist.

Genug geknobelt? Hier die Lösung

Lösungsweg (Video)
Ergebnis

Ausführlicher Beweis siehe Video-Mitschrift.

 

 

 

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