Kartesisches Produkt

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Idee und Motivation

Das kartesische Produkt hilft dabei, aus zwei oder mehr Mengen (deren Elemente nichts miteinander zu tun haben müssen) eine neue Menge zu kreieren, indem man die Elemente der beiden Mengen „zusammenschweißt“.

Vorwissen

Was ist eine Menge?

Video


Definitionen

  • Seien A und B zwei Mengen. Dann ist das kartesische Produkt

    .
  • Die Elemente der Form nennt man (Zweier-)Tupel.

Notationen

  • kartesisches Produkt: >
  • Zweier-Tupel:

Beispiele

  1. Seien  und , dann ist .
  2. Schachbrett: Seien , dann ist .
  3. Drei-dimensionaler reeller Vektorraum:





Eigenschaften und Besonderheiten des kartesischen Produkts

  • Die Mengen, aus denen das kartesische Produkt gebildet wird, sind vollkommen beliebig wählbar. Sie müssen nichts miteinander zu tun haben.
  • Jedoch: In vielen Beispielen, die dir begegnen werden, haben die Mengen miteinander zu tun (beispielsweise ist ihr Schnitt nicht leer) oder sind sogar identisch.
  • Das Prinzip des kartesischen Produkts kann von zwei Mengen auf beliebig viele Mengen erweitert werden, indem man sukzessive paarweise das kartesische Produkt von je zwei Mengen bildet. Dadurch entstehen n-Tupel oder sogar Tupel mit unendlich vielen Einträgen.
  • Die Reihenfolge der Symbole innerhalb eines Tupels ist immer wichtig! Beispielsweise in obigen 1. Beispiel ist

    ein anderes Element als . Tatsächlich ist , aber . Folglich gilt für verschiedene Mengen A und B: .

Wofür braucht man das?

  • Das kartesische Produkt benötigt man in allen Bereichen der Mathematik:
  • In der Algebra kann man damit überhaupt erst Verknüpfungen (z.B. Plus, Mal) formal definieren.
  • In der Vektorrechnung untersucht man Vektorräume (=kartesisches Produkt) und Vektoren (=Tupel).
  • In der Analysis untersucht man Graphen von Funktionen, für die man häufig auch das kartesische Produkt benötigt, z.B. um den Graph einer Funktion zu definieren.
  • Selbst für eine simple Relation (z.B. gleich oder größer-gleich) benötigt man das kartesische Produkt.