Injektiv, surjektiv, bijektiv

Idee und Motivation

Eigenschaften einer Abbildung, die eine bestimmte Zuordnung der Elemente widerspiegeln:
Injektiv: Kein Element wird doppelt getroffen. Surjektiv: Alles wurde getroffen. Bijektiv: Eins-zu-Eins-Zuordnung.

Vorwissen

Menge
Kartesisches Produkt
Abbildung

Video

Eine Abbildung heißt

• injektiv, wenn für alle aus folgt, dass ist.
  Alternativ: Wenn für alle aus folgt, dass auch ist, d.h.. wenn kein Element im Zielbereich B mehrfach getroffen wurde. Eselsbrücke: Kein Hase wird mehrfach getroffen bzw. jeder Jäger hat seinen eigenen Hasen.
• surjektiv, wenn es für jedes Element ein Element mit gibt, d.h. wenn jedes Element in getroffen wird. Eselsbrücke: Alle Hasen sind tot.
• bijektiv, wenn injektiv und surjektiv ist, d.h. wenn es eine 1-zu-1-Zuordnung der Elemente von A zu den Elemente von B gibt, d.h. jedes Element in B wird genau einmal getroffen. Eselsbrücke: Jeder Jäger hat genau einen Hasen und dadurch wurden alle Hasen erwischt.

Notationen

• Injektive Abbildung:
• Surjektive Abbildung:

Beispiele

1. Für jede beliebige Menge ist die Identität mit eine injektive, surjektive und damit bijektive Abbildung.
2. Die Abbildung mit ist nicht injektiv (z.B. wegen), nicht surjektiv (z.B. wird -1 nicht getroffen) und damit auch nicht bijektiv.
3. Wäre im letzten Beispiel der Definitionsbereich hingegen gewesen, so wäre injektiv gewesen. Wäre zusätzlich auch noch der Zielbereich , dann wäre sogar bijektiv.
4. Die Abbildung mit ist injektiv, aber nicht surjektiv (z.B. wird nicht getroffen) und daher nicht bijektiv.
5. Die Abbildung mit ist surjektiv (denn jedes x im Zielbereich hat bspw. als Urbild), aber nicht injektiv (denn bspw. und nicht bijektiv.

Eigenschaften und Besonderheiten

• Ergänzend zum Video: Vergiss nicht, dass per Definition einer Abbildung jeder Jäger auch wirklich schießen (und treffen) muss, sonst wäre es keine Abbildung. Außerdem schießt jeder Jäger natürlich nur einmal.

Wofür braucht man injektiv/surjektiv/ bijektiv?

• Mathematische Objekte untersuchen ist oftmals wie im Nebel zu stochern: Man ist froh über alles, was einem dabei hilft. Oft helfen nun Abbildungen dabei, gewisse Objekte in Beziehung zueinander zu setzen (zum Beispiel möchte man einen „neuen Vektorraum“ mit einem bekannten vergleichen, über den man schon viel weiß).
• Wenn diese Abbildungen nun injektiv / surjektiv / bijektiv ist, dann kann man daraus etwas über die „Größe“ (im Sinne von „Anzahl von Elementen“) herausfinden: Ist eine Abbildung injektiv, so sagt das: B hat mindestens genau so viele Elemente wie A. Bei surjektiven Abbildungen hat A hingegen mindestens genau so viele Elemente wie B. Und bei bijektiven Abbildungen sind die Mengen gleichmächtig, haben also gleich viele Elemente.
• Besonders bei Homomorphismen (also strukturerhaltenden Abbildungen) spielen injektive / surjektive / bijektive Abbildungen ihre stärken aus! Beispielsweise kennt man einen bijektiven Homomorphismus als Isomorphismus und dieser sagt gewissermaßen, dass zwei Dinge identisch sind, die oftmals unterschiedlich aussehen. Dadurch kann man alles, das man über das eine Element weiß, Eins-zu-Eins auf das andere Element übertragen.