Was ist eine Gruppe?

Du hast bereits das Mathe Bootcamp? logge dich ein, um die fehlenden Lektionen freizuschalten.

Idee und Motivation

Eine Gruppe ist eine Art Rechenbereich, in dem gewisse Gleichungen gelöst werden können. Sie bestehen aus einer Menge mit genau einer Rechenoperation z.B. die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition.

Vorwissen

Menge
Kartesisches Produkt
Abbildung
Verknüpfung

Video


Definition

Eine Gruppe ist eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung , sodass folgende Eigenschaften gelten:

  1. Assoziativgesetz: Für alle Elemente gilt:
  2. Existenz eines neutralen Elements: Es gibt ein Element , sodass für alle Elemente gilt:
  3. Zu jedem Gruppenelement  existiert ein inverses Element mit .

Es gibt noch zwei „Vorstufen“ zur Gruppe:
Mengen mit einer Verknüpfung, die die Eigenschaft 1 (Assioziativgesetz) erfüllen, nennt man bereits eine Halbgruppe. Wird zusätzlich Eigenschaft 2 erfüllt (Existenz des neutralen Elements), so hat man einen Monoid.

Notationen

  • Häufiger Buchstabe für eine allgemeine Gruppe: oder .
  • Wenn man zusätzlich die Verknüpfung angeben möchte, schreibt man oft die Menge und die Verknüpfung als Tupel, z.B. .
  • Typische Symbole für eine allgemeine Gruppenverknüpfung: oder
  • neutrales Element der Gruppe:
  • Das zum Element inverse Element:

Beispiele

  1. Die ganzen Zahlen bezüglich der Addition , kurz .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .
  7. .
  8. .
  9. Die denkbar einfachste Gruppe hat eine Menge mit nur einem Element (=neutrales Element), nämlich . Darin gibt es nur eine Rechenregel und dadurch sind alle Bedingungen für eine Gruppe erfüllt.
  10. Die Menge der reellen 2×2 Matrizen bzgl. der Matrizenaddition.
  11. Fortgeschritteneres Beispiel: Die Menge der invertierbaren reellen 2×2 Matrizen bzgl. der Matrizenmultiplikation.
  12. Fortgeschritteneres Beispiel: Sei eine Menge und die Menge aller Abbildungen von und nach . Wir betrachten die Teilmenge aller bijektiven Abbildungen in , d.h. die Abbildungen die eine 1-1-Zuordnung widerspiegeln. Dann ist bezüglich der Komposition (=Hintereinanderausführung) von Abbildungen eine Gruppe. Das neutrale Element darin ist die identische Abbildung mit und das Inverse zu einer Abbildung in ist die jeweilige Umkehrfunktion.
  13. Beispiel für eine Halbgruppe: Die natürlichen Zahlen (ohne Null) bzgl. Addition.
  14. Beispiel für einen Monoid: Die natürlichen Zahlen (mit Null) bzgl. Addition.





Eigenschaften und Besonderheiten einer Gruppe

  • Die wichtigste Eigenschaft einer Gruppe ist, dass per Definition für beliebige Gruppenelemente die Gleichung nach der Unbekannten x aufgelöst werden kann: . Dadurch wird elementares Rechnen möglich.
  • Jede Gruppe ist insbesondere eine Halbgruppe und ein Monoid. Jedoch ist nicht jede Halbgruppe oder jeder Monoid eine Gruppe.
  • Achtung: Kommutativität ist kein Bestandteil der Gruppe, d.h. die Reihenfolge der Elemente spielt eine entscheidende Rolle! Im Allgemeinen ist also . Gruppen bezüglich + sind jedoch häufig kommutativ. Daher muss man korrekterweise bei einer beidseitigem Umformung einer Gleichung (siehe Video) zwischen einer Umformung von links oder von rechts unterscheiden. Häufig wird daher auch in der Vorlesung zwischen Links- und Rechtsseitigem Inversen unterschieden. In der Definition oben nutzen wir hingegen ein beidseitiges Inverses.
  • Eine nicht-kommutative Gruppe ist beispielsweise die Menge der invertierbaren reellen 2×2 Matrizen bzgl. der Matrizenmultiplikation, denn bspw. ist
  • Wichtig in der Definition einer Gruppe ist vor allem auch die Abgeschlossenheit der Verknüpfung, d.h. ich muss meine Verknüpfung so definieren, dass auch wirklich wieder für ein Element aus meiner Menge herauskommt. Das ist bspw. beim Prüfen, ob etwas eine sogenannte Untergruppe (=Gruppe innerhalb einer Gruppe) ist, wichtig.
  • Die wohl häufigsten Beispiele bei Gruppen nutzen oder als Verknüpfungssymbole. Es gibt jedoch noch etliche weitere Symbole, die bei Gruppen genutzt werden, z.B. die Komposition gewisser Abbildungen.
  • Es gibt keine Gruppen bezüglich der Verknüpfungen Minus oder Geteilt, denn diese erfüllen nicht das Assoziativgesetz:

  • Jede Gruppe besitzt genau ein neutrales Element, d.h. es gibt nur eines und das ist eindeutig.
  • Jedes Gruppenelement hat ein jeweiliges Inverses, welches eindeutig ist, d.h. es gibt nur ein Inverses pro Element.
  • Ein Element kann auch sein eigenes Inverses sein, z.B. das neutrale Element ist immer sein eigenes Inverses.
  • Der Kontext ist immer wichtig! Beispielsweise ist das Inverse zum Element  in den ganzen Zahlen bzgl. Addition das Element (sogenanntes additives Inverses) während die Zahl in der Gruppe das Inverse hat (multiplikatives Inverses).
  • Schau dir nochmal das Beispiel oben zu einer Gruppe mit nur einem Element an. Ergänzend kannst du dir hier nun klar machen, dass und jeweils zwei solche Gruppen mit einem Element sind. Diese beiden Gruppen sind aber von ihrer Essenz her identisch, nur die Symbole unterscheiden sich (Null statt Eins und Plus statt Mal). Genau diese Beobachtung führt später auf den Begriff der Isomorphie (von Gruppen) und man nennt solche „inhaltlich identischen, aber mit anderen Symbolen geschriebenen“ Gruppen isomorph.

Wofür braucht man Gruppen?

  • Während eine Verknüpfung nur ein Rechensymbol sowie die „Interaktion“ der Elemente definiert hat, so bekommt man bei einer Gruppe gleich eine ganze Reihe von Eigenschaften, die man zum Rechnen braucht:
  • Mit Hilfe von Gruppen kann man einfache Gleichungen nach der Unbekannten auflösen.
  • Gruppen sind eine zentrale Grundlage für weitere algebraische Strukturen wie Körper und Ringe. Damit sind sie die „Atome des Rechnens“.
  • Gruppen benötigt man bspw. in der Geometrie, z.B. wenn man Symmetrie-Eigenschaften von Objekten mit Hilfe der symmetrische Gruppe untersucht.