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Was ist eine Gruppe?

Gruppe

Idee und Motivation

Eine Gruppe ist eine Art Rechenbereich, in dem gewisse Gleichungen gelöst werden können. Sie bestehen aus einer Menge mit genau einer Rechenoperation z.B. die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition.

Vorwissen

Menge
Kartesisches Produkt
Abbildung
Verknüpfung

Video


Definition

Eine Gruppe ist eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung , sodass folgende Eigenschaften gelten:

  1. Assoziativgesetz: Für alle Elemente gilt:
  2. Existenz eines neutralen Elements: Es gibt ein Element , sodass für alle Elemente gilt:
  3. Zu jedem Gruppenelement  existiert ein inverses Element mit .

Es gibt noch zwei „Vorstufen“ zur Gruppe:
Mengen mit einer Verknüpfung, die die Eigenschaft 1 (Assioziativgesetz) erfüllen, nennt man bereits eine Halbgruppe. Wird zusätzlich Eigenschaft 2 erfüllt (Existenz des neutralen Elements), so hat man einen Monoid.

Notationen

  • Häufiger Buchstabe für eine allgemeine Gruppe: oder .
  • Wenn man zusätzlich die Verknüpfung angeben möchte, schreibt man oft die Menge und die Verknüpfung als Tupel, z.B. .
  • Typische Symbole für eine allgemeine Gruppenverknüpfung: oder
  • neutrales Element der Gruppe:
  • Das zum Element inverse Element:

Beispiele

  1. Die ganzen Zahlen bezüglich der Addition , kurz .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .
  7. .
  8. .
  9. Die denkbar einfachste Gruppe hat eine Menge mit nur einem Element (=neutrales Element), nämlich . Darin gibt es nur eine Rechenregel und dadurch sind alle Bedingungen für eine Gruppe erfüllt.
  10. Die Menge der reellen 2×2 Matrizen bzgl. der Matrizenaddition.
  11. Fortgeschritteneres Beispiel: Die Menge der invertierbaren reellen 2×2 Matrizen bzgl. der Matrizenmultiplikation.
  12. Fortgeschritteneres Beispiel: Sei eine Menge und die Menge aller Abbildungen von und nach . Wir betrachten die Teilmenge aller bijektiven Abbildungen in , d.h. die Abbildungen die eine 1-1-Zuordnung widerspiegeln. Dann ist bezüglich der Komposition (=Hintereinanderausführung) von Abbildungen eine Gruppe. Das neutrale Element darin ist die identische Abbildung mit und das Inverse zu einer Abbildung in ist die jeweilige Umkehrfunktion.
  13. Beispiel für eine Halbgruppe: Die natürlichen Zahlen (ohne Null) bzgl. Addition.
  14. Beispiel für einen Monoid: Die natürlichen Zahlen (mit Null) bzgl. Addition.





Eigenschaften und Besonderheiten einer Gruppe

  • Die wichtigste Eigenschaft einer Gruppe ist, dass per Definition für beliebige Gruppenelemente die Gleichung nach der Unbekannten x aufgelöst werden kann: . Dadurch wird elementares Rechnen möglich.
  • Jede Gruppe ist insbesondere eine Halbgruppe und ein Monoid. Jedoch ist nicht jede Halbgruppe oder jeder Monoid eine Gruppe.
  • Achtung: Kommutativität ist kein Bestandteil der Gruppe, d.h. die Reihenfolge der Elemente spielt eine entscheidende Rolle! Im Allgemeinen ist also . Gruppen bezüglich + sind jedoch häufig kommutativ. Daher muss man korrekterweise bei einer beidseitigem Umformung einer Gleichung (siehe Video) zwischen einer Umformung von links oder von rechts unterscheiden. Häufig wird daher auch in der Vorlesung zwischen Links- und Rechtsseitigem Inversen unterschieden. In der Definition oben nutzen wir hingegen ein beidseitiges Inverses.
  • Eine nicht-kommutative Gruppe ist beispielsweise die Menge der invertierbaren reellen 2×2 Matrizen bzgl. der Matrizenmultiplikation, denn bspw. ist
  • Wichtig in der Definition einer Gruppe ist vor allem auch die Abgeschlossenheit der Verknüpfung, d.h. ich muss meine Verknüpfung so definieren, dass auch wirklich wieder für ein Element aus meiner Menge herauskommt. Das ist bspw. beim Prüfen, ob etwas eine sogenannte Untergruppe (=Gruppe innerhalb einer Gruppe) ist, wichtig.
  • Die wohl häufigsten Beispiele bei Gruppen nutzen oder als Verknüpfungssymbole. Es gibt jedoch noch etliche weitere Symbole, die bei Gruppen genutzt werden, z.B. die Komposition gewisser Abbildungen.
  • Es gibt keine Gruppen bezüglich der Verknüpfungen Minus oder Geteilt, denn diese erfüllen nicht das Assoziativgesetz:

  • Jede Gruppe besitzt genau ein neutrales Element, d.h. es gibt nur eines und das ist eindeutig.
  • Jedes Gruppenelement hat ein jeweiliges Inverses, welches eindeutig ist, d.h. es gibt nur ein Inverses pro Element.
  • Ein Element kann auch sein eigenes Inverses sein, z.B. das neutrale Element ist immer sein eigenes Inverses.
  • Der Kontext ist immer wichtig! Beispielsweise ist das Inverse zum Element  in den ganzen Zahlen bzgl. Addition das Element (sogenanntes additives Inverses) während die Zahl in der Gruppe das Inverse hat (multiplikatives Inverses).
  • Schau dir nochmal das Beispiel oben zu einer Gruppe mit nur einem Element an. Ergänzend kannst du dir hier nun klar machen, dass und jeweils zwei solche Gruppen mit einem Element sind. Diese beiden Gruppen sind aber von ihrer Essenz her identisch, nur die Symbole unterscheiden sich (Null statt Eins und Plus statt Mal). Genau diese Beobachtung führt später auf den Begriff der Isomorphie (von Gruppen) und man nennt solche „inhaltlich identischen, aber mit anderen Symbolen geschriebenen“ Gruppen isomorph.

Wofür braucht man Gruppen?

  • Während eine Verknüpfung nur ein Rechensymbol sowie die „Interaktion“ der Elemente definiert hat, so bekommt man bei einer Gruppe gleich eine ganze Reihe von Eigenschaften, die man zum Rechnen braucht:
  • Mit Hilfe von Gruppen kann man einfache Gleichungen nach der Unbekannten auflösen.
  • Gruppen sind eine zentrale Grundlage für weitere algebraische Strukturen wie Körper und Ringe. Damit sind sie die „Atome des Rechnens“.
  • Gruppen benötigt man bspw. in der Geometrie, z.B. wenn man Symmetrie-Eigenschaften von Objekten mit Hilfe der symmetrische Gruppe untersucht.

Was ist ein Vektorraum?

Vektorraum

Idee und Motivation

Ein Vektorraum ist eine Menge, deren Elemente (genannt Vektoren), aus den Elementen eines Rechenbereichs (Körper) zusammengesetzt wurden, zusammen mit einer Vektoraddition und Skalarmultiplikation.

Vorwissen

Menge
Kartesisches Produkt
Abbildung
Verknüpfung
Gruppe
Ring
Körper

Video


Definition

Sei ein Körper. Eine Menge  zusammen mit zwei Verknüpfungen (Vektoraddition) und (Skalarmultiplikation) heißt Vektorraum über K oder kurz K-Vektorraum, wenn gilt:

  1. ist eine kommutative Gruppe.
  2. Für alle Elemente und gilt: („Assoziativgesetz“).
  3. Für alle Elemente und gilt: und
    .
  4. Für alle gilt: ,
    wobei das Eins-Element des Körpers K ist.

Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren.
Elemente des zum Vektorraum gehörenden Körper nennt man Skalare.
Das neutrale Element der Gruppe heißt Nullvektor.

Notationen

  • Wichtig: Fast immer schreibt man per Konvention einfach auch + anstelle von und anstelle von . Das liegt daran, weil man an den Objekten links und rechts des Verknüpfungssymbols immer erkennt, ob Vektoren aus V oder Skalare aus K addiert werden sollen bzw. ob zwei Skalare multipliziert oder ein Vektor mit einem Skalar multipliziert werden soll.
  • Nullvektor: oder oder einfach nur .
  • Analog zu Ringen und Körpern schreibt man bei einer „Subtraktion“ anstelle von einfach wie aus der Schule gewohnt .





Beispiele

  1. Eines der bekanntesten Beispiele: mit den „naheliegenden“ komponentenweisen Verknüpfungen gegeben durch und
    gegeben durch .
  2. Analog auch und allgemeiner jeder für .
  3. Analog auch: und .
  4. Der einfachste Vektorraum besitzt nur den laut Definition notwendigen Nullvektor: , der sogenannte Nullvektorraum.
  5. Etwas fortgeschrittener: Auch der Körper selbst kann als Vektorraum über sich selbst als Körper aufgefasst werden. Die Skalarmultiplikation ist dann wieder identisch mit der Körpermultiplikation, ebenso ist die Vektoraddition dann einfach die Körperaddition. In der Notation würde man dann anstelle von „Vektoren“ mit einem Eintrag auch einfach die Vektor-Klammern weglassen, so wie im Körper  gewohnt.

Eigenschaften und Besonderheiten von Ringen

  • Der Körper liefert die Menge, aus der die Einträge von V stammen (Koordinaten).
  • Ähnlich wie bei Körpern und Ringen, gilt analog in einem Vektorraum immer Null mal irgendein Vektor ist Nullvektor, denn:
    . Ziehe nun auf beiden Seiten ab und du erhälst . Hierbei wurden verwendet: Eigenschaft der Null (kein Effekt bei Addition), Distributivgesetz und eine elementare Gleichungsumformung (wenn Vektor 1 = Vektor 2 ist, dann ist auch Vektor 1 – w gleich Vektor 2 – w).

Wofür braucht man einen Vektorraum?

  • Vektorräume sind eines der Hauptobjekte, die in der linearen Algebra untersucht werden.
  • Diese werden beispielsweise intensiv genutzt, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.
  • Auch lassen sich mit Vektorräumen sehr gut Dinge aus der Realität modellieren, beispielsweise kann ich im R3 die 3 Einträge eines Vektors als Höhe, Breite und Tiefe interpretieren und damit Gebäude, Gegenstände und weiteres modellieren.

Was ist eine Menge?

Menge

Idee und Motivation

  • Mengen bilden das absolute Fundament der Mathematik, auf dem alles aufbaut. Sie sind die „Atome der Mathematik“.

  • Mit ihnen definiert man die Objekte, die man überhaupt erst einmal untersuchen möchte.

  • Bei einer Menge kann man immer prüfen, ob ein Objekt (=Symbol) darin enthalten ist oder nicht. Es gibt immer nur diese zwei Möglichkeiten.

Video

Beispiele

Definitionen

Leicht schwammige, aber doch häufig gebrauchte Definition:
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von gewissen unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen.
Objekte innerhalb einer Menge nennt man Elemente.
Die (eindeutige) Menge ohne Elemente nennt man die leere Menge.
Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie die identischen Elemente enthalten.





Notationen

  • Formale Schreibweise:

  • Alternativ:

    bzw.

  • Ist x Element von M, dann schreibt man

    , ansonsten

  • Symbol der leeren Menge:

    oder

Eigenschaften, Sätze und Besonderheiten

  • Reihenfolge der Elemente ist egal

  • Dopplungen von Elementen sind egal

  • Mengen können beliebig verschachtelt werden, d.h. Mengen können auch wieder Mengen enthalten.

Wofür braucht man eine Menge?

Mengen stecken überall in Mathe! Wirklich überall! Am Anfang besteht die Kunst darin, das erst einmal zu erkennen. Denn egal, ob Körper, Vektorraum, Matrix, Gruppe, topologischer Raum, Funktion, Zahl oder Nullstelle: Überall finden wir Mengen, die die Objeke beschreiben, die wir untersuchen und verstehen wollen.
Egal ob Analysis, Algebra oder Stochastik: Überall solltest du dich also bei jedem Begriff immer zuerst fragen, was die zugrunde liegende Menge ist. Denn in Mathe gibt es immer zwei Dinge:

  • die Objekte: also Mengen und ihre Elemente
  • die Eigenschaften, die diese Objekte haben und die man untersucht

Um Mathe also richtig zu verstehen, frage dich immer, was deine Objekte und was die zugehörigen Eigenschaften sind. Das ist der Grundstein des mathematischen Denkens.

Kartesisches Produkt

kartesisches produkt

Idee und Motivation

Das kartesische Produkt hilft dabei, aus zwei oder mehr Mengen (deren Elemente nichts miteinander zu tun haben müssen) eine neue Menge zu kreieren, indem man die Elemente der beiden Mengen „zusammenschweißt“.

Vorwissen

Was ist eine Menge?

Video


Definitionen

  • Seien A und B zwei Mengen. Dann ist das kartesische Produkt

    .
  • Die Elemente der Form nennt man (Zweier-)Tupel.

Notationen

  • kartesisches Produkt: >
  • Zweier-Tupel:

Beispiele

  1. Seien  und , dann ist .
  2. Schachbrett: Seien , dann ist .
  3. Drei-dimensionaler reeller Vektorraum:





Eigenschaften und Besonderheiten des kartesischen Produkts

  • Die Mengen, aus denen das kartesische Produkt gebildet wird, sind vollkommen beliebig wählbar. Sie müssen nichts miteinander zu tun haben.
  • Jedoch: In vielen Beispielen, die dir begegnen werden, haben die Mengen miteinander zu tun (beispielsweise ist ihr Schnitt nicht leer) oder sind sogar identisch.
  • Das Prinzip des kartesischen Produkts kann von zwei Mengen auf beliebig viele Mengen erweitert werden, indem man sukzessive paarweise das kartesische Produkt von je zwei Mengen bildet. Dadurch entstehen n-Tupel oder sogar Tupel mit unendlich vielen Einträgen.
  • Die Reihenfolge der Symbole innerhalb eines Tupels ist immer wichtig! Beispielsweise in obigen 1. Beispiel ist

    ein anderes Element als . Tatsächlich ist , aber . Folglich gilt für verschiedene Mengen A und B: .

Wofür braucht man das?

  • Das kartesische Produkt benötigt man in allen Bereichen der Mathematik:
  • In der Algebra kann man damit überhaupt erst Verknüpfungen (z.B. Plus, Mal) formal definieren.
  • In der Vektorrechnung untersucht man Vektorräume (=kartesisches Produkt) und Vektoren (=Tupel).
  • In der Analysis untersucht man Graphen von Funktionen, für die man häufig auch das kartesische Produkt benötigt, z.B. um den Graph einer Funktion zu definieren.
  • Selbst für eine simple Relation (z.B. gleich oder größer-gleich) benötigt man das kartesische Produkt.

Injektiv, surjektiv, bijektiv

injektiv,surjektiv,bijektiv

Idee und Motivation

Eigenschaften einer Abbildung, die eine bestimmte Zuordnung der Elemente widerspiegeln:
Injektiv: Kein Element wird doppelt getroffen. Surjektiv: Alles wurde getroffen. Bijektiv: Eins-zu-Eins-Zuordnung.

Vorwissen

Menge
Kartesisches Produkt
Abbildung

Video


Definition

Eine Abbildung heißt

  • injektiv, wenn für alle aus folgt, dass ist.
    Alternativ: Wenn für alle aus folgt, dass auch ist, d.h.. wenn kein Element im Zielbereich B mehrfach getroffen wurde. Eselsbrücke: Kein Hase wird mehrfach getroffen bzw. jeder Jäger hat seinen eigenen Hasen.
  • surjektiv, wenn es für jedes Element ein Element mit gibt, d.h. wenn jedes Element in getroffen wird. Eselsbrücke: Alle Hasen sind tot.
  • bijektiv, wenn injektiv und surjektiv ist, d.h. wenn es eine 1-zu-1-Zuordnung der Elemente von A zu den Elemente von B gibt, d.h. jedes Element in B wird genau einmal getroffen. Eselsbrücke: Jeder Jäger hat genau einen Hasen und dadurch wurden alle Hasen erwischt.





Notationen

  • Injektive Abbildung:
  • Surjektive Abbildung:

Beispiele

  1. Für jede beliebige Menge ist die Identität mit eine injektive, surjektive und damit bijektive Abbildung.
  2. Die Abbildung mit ist nicht injektiv (z.B. wegen), nicht surjektiv (z.B. wird -1 nicht getroffen) und damit auch nicht bijektiv.
  3. Wäre im letzten Beispiel der Definitionsbereich hingegen gewesen, so wäre injektiv gewesen. Wäre zusätzlich auch noch der Zielbereich , dann wäre sogar bijektiv.
  4. Die Abbildung mit ist injektiv, aber nicht surjektiv (z.B. wird nicht getroffen) und daher nicht bijektiv.
  5. Die Abbildung mit ist surjektiv (denn jedes x im Zielbereich hat bspw. als Urbild), aber nicht injektiv (denn bspw. und nicht bijektiv.

Eigenschaften und Besonderheiten

  • Ergänzend zum Video: Vergiss nicht, dass per Definition einer Abbildung jeder Jäger auch wirklich schießen (und treffen) muss, sonst wäre es keine Abbildung. Außerdem schießt jeder Jäger natürlich nur einmal.

Wofür braucht man injektiv/surjektiv/ bijektiv?

  • Mathematische Objekte untersuchen ist oftmals wie im Nebel zu stochern: Man ist froh über alles, was einem dabei hilft. Oft helfen nun Abbildungen dabei, gewisse Objekte in Beziehung zueinander zu setzen (zum Beispiel möchte man einen „neuen Vektorraum“ mit einem bekannten vergleichen, über den man schon viel weiß).
  • Wenn diese Abbildungen nun injektiv / surjektiv / bijektiv ist, dann kann man daraus etwas über die „Größe“ (im Sinne von „Anzahl von Elementen“) herausfinden: Ist eine Abbildung injektiv, so sagt das: B hat mindestens genau so viele Elemente wie A. Bei surjektiven Abbildungen hat A hingegen mindestens genau so viele Elemente wie B. Und bei bijektiven Abbildungen sind die Mengen gleichmächtig, haben also gleich viele Elemente.
  • Besonders bei Homomorphismen (also strukturerhaltenden Abbildungen) spielen injektive / surjektive / bijektive Abbildungen ihre stärken aus! Beispielsweise kennt man einen bijektiven Homomorphismus als Isomorphismus und dieser sagt gewissermaßen, dass zwei Dinge identisch sind, die oftmals unterschiedlich aussehen. Dadurch kann man alles, das man über das eine Element weiß, Eins-zu-Eins auf das andere Element übertragen.

Bild und Urbild

Bild und Urbild

Idee und Motivation

Das Bild einer Abbildung ist die Menge aller „Pfeilspitzen“ (wohin geht der Pfeil), das Urbild ist die Menge der Pfeilursprünge (von wo kommen die Pfeile).

Vorwissen

Menge
Kartesisches Produkt
Abbildung

Video

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Definition

Sei eine Abbildung.

Für eine Teilmenge von nennen wir das Bild der Menge M.

Für nennen wir das Bild des Elements .

Für ein Element nennen wir die Menge das Urbild des Elements .

Für eine Teilmenge von nennen wir das Urbild der Menge N.

Notationen

  • Symbole für das Bild von A: oder oder
  • Symbole für das Urbild: oder

Beispiele

  • Für mit ist das Bild des Definitionsbereichs. Das Bild von 3 ist und das Bild der Menge ist .
  • Für dieselbe Abbildung: Das Urbild von 4 ist , das Urbild von -1 ist die leere Menge und das Urbild der Menge ist .

Eigenschaften und Besonderheiten

  • Beachte, dass sich Bild und Urbild sowohl auf ein einzelnes Element als auch auf eine Menge beziehen kann, beides wurde oben definiert.
  • Bild der Abbildung -> gibt es immer (wenn A mind. 1 Element hat)
  • Bild eines Elements in A -> gibt es immer
  • Urbild der Abbildung -> muss es geben (wenn A mind. 1 Element hat)
  • Urbild eines Elements -> muss es nicht geben

Wofür braucht man Bild und Urbild?

  • Abbildungen allein sind eines der wichtigsten Konstrukte der Mathematik, um Objekte zu untersuchen.
  • Bild und Urbild sind dabei ein ständiger Begleiter, um die Objekte zuverlässig zu benennen, die man aktuell im Visier hat.
Hinweis
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