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Injektiv, surjektiv, bijektiv

injektiv,surjektiv,bijektiv

Idee und Motivation

Eigenschaften einer Abbildung, die eine bestimmte Zuordnung der Elemente widerspiegeln:
Injektiv: Kein Element wird doppelt getroffen. Surjektiv: Alles wurde getroffen. Bijektiv: Eins-zu-Eins-Zuordnung.

Vorwissen

Menge
Kartesisches Produkt
Abbildung

Video


Definition

Eine Abbildung heißt

  • injektiv, wenn für alle aus folgt, dass ist.
    Alternativ: Wenn für alle aus folgt, dass auch ist, d.h.. wenn kein Element im Zielbereich B mehrfach getroffen wurde. Eselsbrücke: Kein Hase wird mehrfach getroffen bzw. jeder Jäger hat seinen eigenen Hasen.
  • surjektiv, wenn es für jedes Element ein Element mit gibt, d.h. wenn jedes Element in getroffen wird. Eselsbrücke: Alle Hasen sind tot.
  • bijektiv, wenn injektiv und surjektiv ist, d.h. wenn es eine 1-zu-1-Zuordnung der Elemente von A zu den Elemente von B gibt, d.h. jedes Element in B wird genau einmal getroffen. Eselsbrücke: Jeder Jäger hat genau einen Hasen und dadurch wurden alle Hasen erwischt.





Notationen

  • Injektive Abbildung:
  • Surjektive Abbildung:

Beispiele

  1. Für jede beliebige Menge ist die Identität mit eine injektive, surjektive und damit bijektive Abbildung.
  2. Die Abbildung mit ist nicht injektiv (z.B. wegen), nicht surjektiv (z.B. wird -1 nicht getroffen) und damit auch nicht bijektiv.
  3. Wäre im letzten Beispiel der Definitionsbereich hingegen gewesen, so wäre injektiv gewesen. Wäre zusätzlich auch noch der Zielbereich , dann wäre sogar bijektiv.
  4. Die Abbildung mit ist injektiv, aber nicht surjektiv (z.B. wird nicht getroffen) und daher nicht bijektiv.
  5. Die Abbildung mit ist surjektiv (denn jedes x im Zielbereich hat bspw. als Urbild), aber nicht injektiv (denn bspw. und nicht bijektiv.

Eigenschaften und Besonderheiten

  • Ergänzend zum Video: Vergiss nicht, dass per Definition einer Abbildung jeder Jäger auch wirklich schießen (und treffen) muss, sonst wäre es keine Abbildung. Außerdem schießt jeder Jäger natürlich nur einmal.

Wofür braucht man injektiv/surjektiv/ bijektiv?

  • Mathematische Objekte untersuchen ist oftmals wie im Nebel zu stochern: Man ist froh über alles, was einem dabei hilft. Oft helfen nun Abbildungen dabei, gewisse Objekte in Beziehung zueinander zu setzen (zum Beispiel möchte man einen „neuen Vektorraum“ mit einem bekannten vergleichen, über den man schon viel weiß).
  • Wenn diese Abbildungen nun injektiv / surjektiv / bijektiv ist, dann kann man daraus etwas über die „Größe“ (im Sinne von „Anzahl von Elementen“) herausfinden: Ist eine Abbildung injektiv, so sagt das: B hat mindestens genau so viele Elemente wie A. Bei surjektiven Abbildungen hat A hingegen mindestens genau so viele Elemente wie B. Und bei bijektiven Abbildungen sind die Mengen gleichmächtig, haben also gleich viele Elemente.
  • Besonders bei Homomorphismen (also strukturerhaltenden Abbildungen) spielen injektive / surjektive / bijektive Abbildungen ihre stärken aus! Beispielsweise kennt man einen bijektiven Homomorphismus als Isomorphismus und dieser sagt gewissermaßen, dass zwei Dinge identisch sind, die oftmals unterschiedlich aussehen. Dadurch kann man alles, das man über das eine Element weiß, Eins-zu-Eins auf das andere Element übertragen.

Was ist eine Äquivalenzrelation?

Äquivalenzrelation

Idee und Motivation

Eine Äquivalenzrelation ist eine Art Verallgemeinerung des Gleichheits-Zeichens, um einen Begriff von Gleichheit von verschiedenen Objekten zu schaffen.

Vorwissen

Was ist eine Menge?
Mengenlehre
Kartesisches Produkt
Relation

Video

Definition

  • Sei M eine Menge mit Relation . Dann heißt eine Äquivalenzrelation, wenn gilt:

    1. Reflexivität: Für alle gilt: . Eselsbrücke: „selbst“

    2. Symmetrie: Für alle gilt: Wenn
      ist, dann gilt auch . Eselsbrücke: „tauschen“
    3. Transitivität: Für alle gilt: Wenn und gilt, dann ist auch . Eselsbrücke: „Brücke“
  • Elemente, die bzgl. einer Äquivalenzrelation in Relation stehen, nennt man auch äquivalent zueinander.
  • Fasst man in der Menge M alle zueinander äquivalente Elemente zu einer Menge zusammen, dann nennt man das eine Äquivalenzklasse (oder Nebenklasse). Die Elemente in einer Äquivalenzklasse sind alle sogenannte Vertreter für diese Äquivalenzklasse.
  • Die Menge aller überschneidungsfreien Äquivalenzklassen von M nennt man eine Partition (=vollständige Zerlegung) von M.

Notationen

  • Manchmal sieht man die Notation , welche meint: Eine Menge M zusammen mit einer Äquivalenzrelation .
  • Äquivalenzklasse: [n], wobei n ein Vertreter ist (siehe Beispiele).





Beispiele

  1. Das Gleichheits-Symbol auf den reellen Zahlen (oder komplexen Zahlen) und vielen Teilmengen davon.
  2. Gleichheit von Vektoren: Sei . Wir definieren , wobei und ist.
  3. Isomorphie von Vektorräumen.
  4. Die Kongruenz ganzer Zahlen modulo n ist eine Äquivalenzrelation.
  5. Fortgeschrittenes Beispiel: Rechnen wir modulo 5 auf den ganzen Zahlen: Dann sind die Zahlen alle äquivalent (man sagt hier: kongruent) zueinander und bilden damit eine Äquivalenzklasse, die wir als [0] oder [5] oder … aufschreiben (0 und 5 etc. ist jeweils ein Vertreter für dieselbe Äquivalenzklasse). Insgesamt zerfällt die Menge der ganzen Zahlen hier in eine Partition, bestehend aus 5 Äquivalenzklassen: und , d.h. jede ganze Zahl gehört zu einer dieser Klassen und alle 5 Klassen sind überschneidungsfrei.

Eigenschaften und Besonderheiten einer Äquivalenzrelation

  • Die drei Eigenschaften der Definition sind nicht selbstverständlich, sondern machen überhaupt erst die „Essenz“ einer Gleichheit aus. In Abgrenzung dazu hier einige Beispiele von Nicht-Äquivalenz-relationen:
  • Die Relation < ist nicht reflexiv, denn 1 steht nicht zu sich selbst in Relation bzgl. <
  • Die Relation ist nicht symmetrisch, denn , aber es gilt nicht .
  • „Sich kennen“ auf der Menge aller Menschen ist nicht transitiv: Wenn Person A die Person B kennt und Person B kennt Person C, dann kennt noch lange nicht dadurch auch Person A die Person C.
  • Schere, Stein, Papier ist ebenfalls nicht transitiv.
  • Zwei Äquivalenzklassen derselben Menge sind entweder identisch oder überschneidungsfrei.

Wofür braucht man die?

  • Eine Art „Gleichheitsbegriff“ in vielen Kontexten schaffen (Gleichheit von Mengen, Zahlen, Vektoren, Abbildungen etc.).
  • Kongruenzrechnung / Modulo Rechnen

Was du für die Analysis 1 Klausur wissen musst, um EASY zu bestehen

Alles was du für die Analysis 1 Klausur wissen musst. Mit diesen Tipps bestehst du Analysis 1 EASY.

Hier eine Liste, was du für die Analysis 1 Klausur drauf haben solltest, um EASY zu bestehen:

Folgen: Was sind Folgen? Was bedeutet Konvergenz einer Folge? Den Grenzwert einer Folge berechnen bzw. zeigen, dass sie nicht konvergiert.

Reihen: Was sind Reihen? Was unterscheidet sie von Folgen? Was bedeutet Konvergenz einer Reihe? Grenzwert einer Reihe mit Hilfe von Konvergenz-Kriterien zeigen bzw. nachweisen, dass sie nicht konvergiert.

Reelle Zahlen: offene, abgeschlossene und kompakte Mengen, inf / sup / min / max verstehen, Epsilon-Umgebung verstehen, Vollständigkeit der reellen Zahlen, Zwischenwertsatz und Satz von Rolle verstehen und anwenden können

Funktionen: Elementare Funktionen kennen (exp, log, sin, cos, tan, x^n, ….), Stetigkeit in einem Punkt und für ganze Funktion zeigen

Differentialrechnung: Idee der Differenzierbarkeit verstanden haben, Differenzierbarkeit in einem Punkt nachweisen, Ableiten in allen Facetten

Integralrechnung: Idee des Integrals verstanden haben, Integrierbarkeit einer Funktion zeigen, Stammfunktion bilden / Integrieren von einfachen Funktionen und partielle Integration & Integration durch Substitution, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden

Taylorpolynom: Taylorpolynom einer Funktion bilden

Und falls du Unterstützung dabei brauchst, das alles richtig zu verstehen und anzuwenden dann schau dir unbedingt meinen Analysis 1 Intuition Videokurs an, in dem ich dir die Ana 1 Vorlesung intuitiv erkläre.

Darin erkläre ich dir die notwendige Theorie mega anschaulich und inklusive der dahinterliegenden Ideen, sodass du Mathe VERSTEHST anstatt es nur stur zu lernen. Und natürlich inklusive der passenden Übungsaufgaben für die Klausurvorbereitung ;)

Viel Erfolg beim Lernen!
Markus