Was ist eine Äquivalenzrelation?

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Idee und Motivation

Eine Äquivalenzrelation ist eine Art Verallgemeinerung des Gleichheits-Zeichens, um einen Begriff von Gleichheit von verschiedenen Objekten zu schaffen.

Vorwissen

Was ist eine Menge?
Mengenlehre
Kartesisches Produkt
Relation

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Definition

  • Sei M eine Menge mit Relation . Dann heißt eine Äquivalenzrelation, wenn gilt:

    1. Reflexivität: Für alle gilt: . Eselsbrücke: „selbst“

    2. Symmetrie: Für alle gilt: Wenn
      ist, dann gilt auch . Eselsbrücke: „tauschen“
    3. Transitivität: Für alle gilt: Wenn und gilt, dann ist auch . Eselsbrücke: „Brücke“
  • Elemente, die bzgl. einer Äquivalenzrelation in Relation stehen, nennt man auch äquivalent zueinander.
  • Fasst man in der Menge M alle zueinander äquivalente Elemente zu einer Menge zusammen, dann nennt man das eine Äquivalenzklasse (oder Nebenklasse). Die Elemente in einer Äquivalenzklasse sind alle sogenannte Vertreter für diese Äquivalenzklasse.
  • Die Menge aller überschneidungsfreien Äquivalenzklassen von M nennt man eine Partition (=vollständige Zerlegung) von M.

Notationen

  • Manchmal sieht man die Notation , welche meint: Eine Menge M zusammen mit einer Äquivalenzrelation .
  • Äquivalenzklasse: [n], wobei n ein Vertreter ist (siehe Beispiele).





Beispiele

  1. Das Gleichheits-Symbol auf den reellen Zahlen (oder komplexen Zahlen) und vielen Teilmengen davon.
  2. Gleichheit von Vektoren: Sei . Wir definieren , wobei und ist.
  3. Isomorphie von Vektorräumen.
  4. Die Kongruenz ganzer Zahlen modulo n ist eine Äquivalenzrelation.
  5. Fortgeschrittenes Beispiel: Rechnen wir modulo 5 auf den ganzen Zahlen: Dann sind die Zahlen alle äquivalent (man sagt hier: kongruent) zueinander und bilden damit eine Äquivalenzklasse, die wir als [0] oder [5] oder … aufschreiben (0 und 5 etc. ist jeweils ein Vertreter für dieselbe Äquivalenzklasse). Insgesamt zerfällt die Menge der ganzen Zahlen hier in eine Partition, bestehend aus 5 Äquivalenzklassen: und , d.h. jede ganze Zahl gehört zu einer dieser Klassen und alle 5 Klassen sind überschneidungsfrei.

Eigenschaften und Besonderheiten einer Äquivalenzrelation

  • Die drei Eigenschaften der Definition sind nicht selbstverständlich, sondern machen überhaupt erst die „Essenz“ einer Gleichheit aus. In Abgrenzung dazu hier einige Beispiele von Nicht-Äquivalenz-relationen:
  • Die Relation < ist nicht reflexiv, denn 1 steht nicht zu sich selbst in Relation bzgl. <
  • Die Relation ist nicht symmetrisch, denn , aber es gilt nicht .
  • „Sich kennen“ auf der Menge aller Menschen ist nicht transitiv: Wenn Person A die Person B kennt und Person B kennt Person C, dann kennt noch lange nicht dadurch auch Person A die Person C.
  • Schere, Stein, Papier ist ebenfalls nicht transitiv.
  • Zwei Äquivalenzklassen derselben Menge sind entweder identisch oder überschneidungsfrei.

Wofür braucht man die?

  • Eine Art „Gleichheitsbegriff“ in vielen Kontexten schaffen (Gleichheit von Mengen, Zahlen, Vektoren, Abbildungen etc.).
  • Kongruenzrechnung / Modulo Rechnen