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Implizite Ableitung
Die Idee – auf den Punkt gebracht
Für eine implizit gegebene Funktion (siehe Beispiel unten) möchte man auch eine implizite Ableitung anstelle einer „expliziten Ableitung“
berechnen.
Die Erklärung – mit intuitivem Video (16:14 min)
Das Beispiel – so sieht das aus
Anstelle von (explizite Funktion) ist
implizit gegeben durch die Gleichung
.
In diesem Fall ist es nicht möglich eine EINDEUTIGE explizite Darstellung durch Umstellen zu erhalten. Möchte man für
die Ableitung
berechnen, dann kann man also nicht die bisher bekannten Methoden nutzen (nämlich die explizite Darstellung
einfach ableiten), da es keine explizite Darstellung von
gibt. Stattdessen nutzt man hier den Algorithmus unten, um eine implizite Ableitung zu berechnen.
Die Notation – so schreibst du es
Nichts Neues für dich ;)
Der Algorithmus – so gehst du vor
Gegeben: , wobei
abhängig von
ist (implizit gegebene Funktion
). Gesucht:
- Bestimme die partiellen Ableitung von
nach
und nach
(ich nenne diese gleich
und
)
- Die implizite Ableitung ist dann gegeben durch den Ausdruck
Die Übungsaufgaben – so lernst du es
Aufgabe 1
Diese Aufgabe ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1 zu “Extrema unter Nebenbedingungen”.
Bestimmen Sie mit Hilfe der impliziten Ableitung und bestimmen Sie die Steigung der Indifferenzkurve im Optimalpunkt.
Hinweis: Die Steigung der Indifferenzkurve ist genau der Wert der impliziten Ableitung.
Videolösung (12:08 min) Schriftliche Lösung
Aufgabe 2
Diese Aufgabe ist eine Fortsetzung der Aufgabe 2 zu “Extrema unter Nebenbedingungen”.
Bestimmen Sie mit Hilfe der impliziten Ableitung und bestimmen Sie die Steigung der Indifferenzkurve im Optimalpunkt.
Hinweis: Die Steigung der Indifferenzkurve ist genau der Wert der impliziten Ableitung.

