Implizite Ableitung

Die Idee – auf den Punkt gebracht

Für eine implizit gegebene Funktion $y(x)$ (siehe Beispiel unten) möchte man auch eine implizite Ableitung anstelle einer „expliziten Ableitung“ $y'(x)$ berechnen.

Die Erklärung – mit intuitivem Video (16:14 min)

Das Beispiel – so sieht das aus

Anstelle von $y(x)= \dots$ (explizite Funktion) ist $y(x)$ implizit gegeben durch die Gleichung $x^2 + y^2 = 1$ .

In diesem Fall ist es nicht möglich eine EINDEUTIGE explizite Darstellung $y(x) = \dots$ durch Umstellen zu erhalten. Möchte man für $y(x)$ die Ableitung $y'(x)$ berechnen, dann kann man also nicht die bisher bekannten Methoden nutzen (nämlich die explizite Darstellung $y(x)$ einfach ableiten), da es keine explizite Darstellung von $y(x)$ gibt. Stattdessen nutzt man hier den Algorithmus unten, um eine implizite Ableitung zu berechnen.

Die Notation – so schreibst du es

Nichts Neues für dich ;)

Der Algorithmus – so gehst du vor

Gegeben: $F(x,y) = 0$ , wobei $y=y(x)$ abhängig von $x$ ist (implizit gegebene Funktion $y(x)$ ). Gesucht: $y'(x)$

Bestimme die partiellen Ableitung von $F$ nach $x$ und nach $y$ (ich nenne diese gleich $F_x$ und $F_y$ )
Die implizite Ableitung ist dann gegeben durch den Ausdruck $- \frac{F_x}{F_y}$

Die Übungsaufgaben – so lernst du es

Aufgabe 1

Diese Aufgabe ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1 zu “Extrema unter Nebenbedingungen”.

Bestimmen Sie $\frac{\partial x_2}{\partial x_1}$ mit Hilfe der impliziten Ableitung und bestimmen Sie die Steigung der Indifferenzkurve im Optimalpunkt.

Hinweis: Die Steigung der Indifferenzkurve ist genau der Wert der impliziten Ableitung.

Videolösung (12:08 min) Schriftliche Lösung

Aufgabe 2

Diese Aufgabe ist eine Fortsetzung der Aufgabe 2 zu “Extrema unter Nebenbedingungen”.

Bestimmen Sie $\frac{\partial x_2}{\partial x_1}$ mit Hilfe der impliziten Ableitung und bestimmen Sie die Steigung der Indifferenzkurve im Optimalpunkt.

Hinweis: Die Steigung der Indifferenzkurve ist genau der Wert der impliziten Ableitung.

Videolösung (5:49 min) Schriftliche Lösung