Aufgabe 4.2

Aufgabe

Sei V:= mathbb{R}^3 (mal wieder).

a) Gib drei linear abhängige Vektoren in V an, die paarweise (d.h. wenn man alle Paare von je zwei Vektoren betrachtet) linear unabhängig sind.

b) Begründe ohne Rechnung, wieso die Vektoren begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 0 end{pmatrix}, begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 1 end{pmatrix}, begin{pmatrix} 3 \ 3 \ 2 end{pmatrix} und begin{pmatrix} 1 \ 8 \ 3 end{pmatrix} linear abhängig sind.

c) Entferne in b) solange Vektoren, bis die verbleibenden Vektoren linear unabhängig sind (nachweisen).

Bevor du loslegst

  1. Lerne die Intuition und Definition von linear unabhängig

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  2. Beantworte nun schriftlich:
    1. Wann ist ein Vektor linear unabhängig?
    2. Und wann zwei Vektoren?
    3. Und wann drei Vektoren?
  3. Woran erkennst du visuell lineare Unabhängigkeit von Vektoren?

Genug geknobelt? Hier die Lösung

Lösungsweg (Video)

 

Mitschrift zum Video

Ergebnis

a) Suche dir zwei lineare unabhängige Vektoren v und w und nimm dann noch beispielsweise v+w dazu.

Denn die Paare v und w, v und v+w sowie w und v+w sind dann alle linear unabhängig, aber natürlich sind alle drei Vektoren linear abhängig, denn (v+w) = 1 cdot v + 1 cdot w.

b) Da wir uns im V:= mathbb{R}^3 befinden, können maximal 3 Vektoren linear unabhängig sein, in der Aufgabe haben wir jedoch 4 Vektoren.

c) Hier gibt es mehrere Lösungen. Eine Lösung ist beispielsweise, die letzten beiden Vektoren zu entfernen, denn beide Vektoren sind Linearkombinationen der beiden ersten Vektoren.

 

 

 

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