Aufgabe 11.1

Aufgabe

Sei varphi colon mathbb{R}^3 to mathbb{R}^2 gegeben durch varphi (x,y,z) = begin{pmatrix} -3x + y \ y + 2z end{pmatrix} und seien B_1 := { e_1, e_2, e_3 } subseteq mathbb{R}^3, B_2 := left{ begin{pmatrix}1 \1 \ 0 end{pmatrix}, begin{pmatrix}0 \1 \ 1 end{pmatrix}, begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 end{pmatrix} right} und B_3:= left{ begin{pmatrix}2 \0 end{pmatrix}, begin{pmatrix}1 \1 end{pmatrix} right} geordnete Basen von mathbb{R}^3 bzw. mathbb{R}^2.

a) Schreibe begin{pmatrix}2 \2 \ 0 end{pmatrix}_{B_2} als Koordinatenvektor bzgl. B_1.

b) Berechne die Darstellungsmatrix varphi ^{B_2} _{B_3}.

c) Bestimme mit Hilfe von b) den Koordinatenvektor left( varphi left( begin{pmatrix}2 \2 \ 0 end{pmatrix}_{B_2}right) right)_{B_3}.

d) Bestimme nur mit Hilfe von a) und c) den Vektor varphi begin{pmatrix}2 \4 \ 2 end{pmatrix} . Bestimme den Vektor anschließend erneut durch einfaches Einsetzen in varphi .

Hinweis: Eine geordnete Basis ist eine Basis, bei der die Reihenfolge der Elemente wichtig ist. Manchmal schreibt man diese auch mit eckigen [ ] oder runden ( ) Klammern anstelle der geschweiften Mengenklammern.

Tipp: Achte immer auf den Unterschied zwischen Vektor und Koordinatenvektor.

Bevor du loslegst

  1. Lerne die Definition und Intuition von Koordinatenvektor

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    var fireOnce = true;
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    Loading video…

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    und Darstellungsmatrix

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    Key: ‚LA 1 v2.0/Darstellungsmatrix/Darstellungsmatri.mp4′,
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    Aspect: ’16:9‘,
    Resume: “
    },function(){

    });
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    addListener(window.s3bubbleAnalytics);
    });
    .

  2. Beantworte nun schriftlich:
    1. Was ist ein Koordinatenvektor?
    2. Was ist eine Darstellungsmatrix?
    3. Wie hängen Koordinatenvektor und Darstellungsmatrix zusammen?

Genug geknobelt? Hier die Lösung

Lösungsweg (Video)

 

Mitschrift zum Video

Ergebnis

a) begin{pmatrix}2 \2 \ 0 end{pmatrix}_{B_2} = begin{pmatrix}2 \4 \ 2 end{pmatrix} = begin{pmatrix}2 \4 \ 2 end{pmatrix}_{B_1}

b) varphi ^{B_2} _{B_3} = begin{pmatrix}-1,5 & -1 & -2,5 \ 1 & 3 & 2 end{pmatrix}

c)

left( varphi left( begin{pmatrix}2 \2 \ 0 end{pmatrix}_{B_2}right) right)_{B_3} = left( begin{pmatrix}-1,5 & -1 & -2,5 \ 1 & 3 & 2 end{pmatrix} cdot begin{pmatrix}2 \2 \ 0 end{pmatrix} right)_{B_3}= begin{pmatrix}-5 \8 end{pmatrix}_{B_3}.

d) Mit Hilfe von a) und c): varphi begin{pmatrix}2 \4 \ 2 end{pmatrix} = varphi left( begin{pmatrix}2 \2 \ 0 end{pmatrix}_{B_2} right) = left( varphi ^{B_2} _{B_3} cdot begin{pmatrix}2 \2 \ 0 end{pmatrix}_{B_2} right) _{B_3} = begin{pmatrix}-5 \8 end{pmatrix} _{B_3} = begin{pmatrix}-2 \ 8 end{pmatrix}

Direkt laut Definition: varphi begin{pmatrix}2 \4 \ 2 end{pmatrix} = begin{pmatrix}-2 \ 8 end{pmatrix}

 

 

 

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