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Algebra 1 Intuition (NEU!)
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Das erste „Handbuch“ zum Mathestudium und Beweisen.
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Aufgabe 10.2
Aufgabe
Sei ein Vektorraum-Homomorphismus.
a) Zeige, dass gilt: ist surjektiv
Bild
b) Zeige, dass gilt: ist injektiv
Kern
Hinweis: Aussage a) scheint intuitiv trivial zu sein, doch kannst du es formal beweisen? Aussage b) hingegen ist schon anspruchsvoller.
Exkurs zur Logik von Beweisen:
Eine Äquivalenz von Aussagen zeigst du immer, indem du dir nacheinander die einzelnen Richtungen
und
vornimmst.
Die entstandenen Teilaufgabe der Form zeigst du danach jeweils, indem du die Aussage
als gegeben voraussetzt und durch Umformungen und Folgerungen so auf die andere Seite
schließen kannst.
Nice to know:
Die Aussage b) ist ein hübsches Kriterium, um injektiv auch auf andere Art und Weise zu zeigen, als nur die Definition nachzurechnen. Je nach Aufgabe spart das viel Zeit, also merken!
Bevor du loslegst
- Frische Aufgabe 9.1 auf.
- Wie zeigst du formal, dass eine Abbildung injektiv bzw. surjektiv ist?
- Achte auf die Objekttypen und was für diese zu zeigen ist: Eine Gleichheit von zwei Mengen zeigst du beispielsweise, indem du zeigst, dass jeweils die eine Menge teil der anderen Menge ist.
Genug geknobelt? Hier die Lösung

